<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\
$c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $
$$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'$$
כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n =\sum |c_n| $ ואז הטור מתכנס בהחלט.
נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-
$C_n $A_n B_n = \sum_{mi=0}^n \sum_{kj=0}^m a_k b_n a_i b_j = C_n+\sum_{m-kn<i+j\leq 2n} a_i b_j$$ נגדיר $S_n =\sum_{i+j\leq n} |a_i| |b_j|$ ונראה שזוהי סדרה מונוטונית עולה. מתקיים ש-$C$ מתכנס בהחלט ולכן $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k} | = \sum_{mn=0}^\infty \sum_{i+j=n a_k b_m } |a_i b_j | <\infty $$
ולכן $S_n $ חסומה ואז מתכנסת לגבול $S$ .
$$|A_n B_n - C_n|=S_{2n} - S_n \to S-S = 0$$
ומאריתמטיקה של גבולות $A\cdot B = C $
\end{proof}
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>