שינויים

יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר \\$c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $

\underlinebegin{משפט:thm} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$\end{thm}

\underlinebegin{הוכחה:proof} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט

$$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq $$$$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| \leq = A'\cdot B'$$

כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן הסס"ח חסום קיים חסם מלעיל ומכאן שהטור לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט.

נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ובאותו אופן על ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-

$A_n B_n C_n = \sum_{im=0}^n \sum_{jk=0}^m a_k b_{m-k} \leq \sum_{k=0}^n a_i b_j \sum_{m=0}^n a_k b_m $  \end{proof}