קוד:מסלול פורש מרחב אינווריאנטי

הראינו כי אנחנו חייבים לחלק את הבסיס שלנו למסלולים, כדי שהמטריצה המייצגת תהיה בצורת ז'ורדן. נותר לבדוק האם תתי-המרחבים הנפרשים על ידם הם אינווריאנטיים. ניעזר בהערה הבאה:

\underline{הערה:}

$T\left[span\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ]=span\left \{ T\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_k \right ) \right \}=span\left(T\left[\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ] \right )$

\textbf{למה:}

אם $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$ הוא מסלול מאורך $m$, אזי $span E$ הוא אינווריאנטי.

\textit{הוכחה:}

נתבונן ב-$i=0,\dots,i-2$. אזי $T\left(T^i\left(v \right ) \right )=T^{i+1}\left(v \right )\in E\subseteq span E$.

עבור $i=m-1$, $T\left(T^{m-1}\left(v \right ) \right )=T^m\left(v \right )=0\in span E$.

לפי ההערה הקודמת, קיבלנו את מה שרצינו להוכיח.