אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$.
אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א שמתקיים $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן,
$$\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$$
\end{proof}