הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם.
\textbfbegin{הגדרה:definition}
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, $\dim d\operatorname{im} V=n$, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ערך עצמי של $T$. נסמן$$I_\lambda=\operatorname{im}\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]$$
$I_\lambda=im\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]$.end{definition}
\textbfbegin{למה:lem}
\begin{enumerate}
\end{enumerate}
\end{lem}
\underline{תזכורת:}
ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה.
יהי $E:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, אזי $\dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(\operatorname{im } T \right )$.
\textitbegin{הוכחה:proof}
\begin{enumerate}
\item כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, $T$ מתחלף עם $T-\lambda I$ ועם כל חזקה שלו. לכן, אם $v\in I_\lambda$, כלומר קיים $x\in V$ שעבורו $\left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v$, אזי
$$T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda$$
\item נתחיל מלהוכיח ש-$K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$, כלומר שהסכום ישר.
נניח ש-$v\in K_\lambda$, $v\in I_\lambda$. אזי קיים $x\in V$ שעבורו $v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )$, וכן $\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0$. נקבל
$$\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda$$
לכן, $\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0$, ולכן $v=0$
, ומכאן אכן $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$.
כעת נרצה להוכיח שהסכום )הישר( הישר) אכן מכסה את המרחב כולו. לצורך כך, נסתכל על המימדים. ניקח $E=\left(T-\lambda I\right)^n$, ולפי התזכורת )(משפט הדרגה להעתקות לינאריות(), $$\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$$
מתקיים $K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V$, וכן
$\dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$
\end{enumerate}
\end{proof}