קוד:מרחב עצמי מוכלל והתמונה

הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם.

\textbf{הגדרה:}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, $\dim V=n$, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ערך עצמי של $T$. נסמן

$I_\lambda=im\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]$.

\textbf{למה:}

\begin{enumerate}

\item $I_\lambda$ תת-מרחב אינווריאנטי תחת $T$.

\item $V=K_\lambda\oplus I_\lambda$.

\end{enumerate}

\underline{תזכורת:}

ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה.

יהי $E:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, אזי $\dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(im T \right )$.

\textit{הוכחה:}

\begin{enumerate}

\item כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, $T$ מתחלף עם $T-\lambda I$ ועם כל חזקה שלו. לכן, אם $v\in I_\lambda$, כלומר קיים $x\in V$ שעבורו $\left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v$, אזי

$T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda$

\item נתחיל מלהוכיח ש-$K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$, כלומר שהסכום ישר.

נניח ש-$v\in K_\lambda$, $v\in I_\lambda$. אזי קיים $x\in V$ שעבורו $v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )$, וכן $\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0$. נקבל

$\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda$

לכן, $\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0$, ולכן $v=0$ , ומכאן אכן $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$.

כעת נרצה להוכיח שהסכום )הישר( אכן מכסה את המרחב כולו. לצורך כך, נסתכל על המימדים. ניקח $E=\left(T-\lambda I\right)^n$, ולפי התזכורת )משפט הדרגה להעתקות לינאריות(,

$\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$

מתקיים $K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V$, וכן $\dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$ לכן $V=K_\lambda\oplus I_\lambda$.

\end{enumerate}