\end{proof}
מסקנה:
\begin{thmcorollary}
אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)
\end{thmcorollary}
\begin{proof}
נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$!
\end{proof}
\begin{corollary}
אומדן של שינוי פונקציה: תהי $f\in D(a,b)\cap C[a,b] $ כך ש- $|f'(x)|\leq M $ לכל $x\in (a,b) $ , אזי $|f(b)-f(a)|\leq M(b-a) $
\end{corollary}
\begin{proof}
לפי לגרנז' $\exists c : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow |f(b)-f(a)|=|f'(c)|(b-a)\leq M(b-a) $
\end{proof}