\begin{thm}
תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי עצירות פתאומיות או שינוי מהירות פתאומי) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.
\end{thm}
באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי שינויים פתאומיים במהירות) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.
\begin{proof}
\begin{corollarycor}
אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)
\end{corollarycor}
\begin{proof}
\end{proof}
\begin{corollarycor}אומדן של שינוי פונקציה: תהי אם $f\forall x\in D(a,b)\cap C[a,b] $ כך ש- $|: f'(x)|\leq M $ לכל $=g'(x\in (a,b) $ , אזי $|f\exists c \forall x : g(bx)-=f(a)|\leq M(b-ax) +c $\end{corollarycor}
\begin{proof}
נגדיר $F(x)=g(x)-f(x) $ . מתקיים ש- $F'(x)=g'(x)-f'(x)=0 $ ולכן $F(x)=g(x)-f(x)=c $ \end{proof}\begin{cor}[אומדן של שינוי פונקציה]תהי $f\in D(a,b)\cap C[a,b] $ כך ש- $|f'(x)|\leq M $ לכל $x\in (a,b) $ , אזי $|f(b)-f(a)|\leq M(b-a) $\end{cor} \begin{proof}לפי לגרנז' $$\exists c : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow |f(b)-f(a)|=|f'(c)|(b-a)\leq M(b-a) $$
\end{proof}