קוד:מתי ההטלה איננה משתנה

\begin{remark}

$\pi_B\left(v\right)=v$ אם ורק אם $v\in W$.

\end{remark}

\begin{proof}

אם $v\in W$, אזי נציג את $v$ כצירוף לינארי של איברי $B$: $v=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k$. מתקיים

$\left \langle v,w_i \right \rangle=\alpha_i\left \langle w_i,w_i \right \rangle=\alpha_i\left \| w_i \right \|^2$

ולכן

$\pi_B\left(v \right )=\frac{\alpha_1\left \| w_1 \right \|^2}{\left \| w_1 \right \|^2}w_1+\cdots+\frac{\alpha_1\left \| w_k \right \|^2}{\left \| w_k \right \|^2}w_k=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k=v$

בכיוון ההפוך, אם $\pi_B\left(v\right)=v$, אזי $v\in W$, כי ההיטל ב-$W$.

\end{proof}