\end{definition}
דוגמה: נגזרת של ישר $f(x)=mx+n $ בנקודה $a$ תהיה $\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a} \frac{mx+n-ma-n}{x-a} = m $ ללא תלות בנקודה $a$!
נגזרת של ישר $f(x)=mx+n $ בנקודה $a$ תהיה $\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a} \frac{mx+n-ma-n}{x-a} = m $ ללא תלות בנקודה $a$!
$\\$
דוגמה:
$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\sin\frac{\Delta x}{2} \cos(x+\frac{\Delta x}{2}) }{\Delta x}=\{\Delta x'=\frac{\Delta x}{2}\} = \lim_{\Delta x'\to 0} \frac{2\sin \Delta x' \cos (x+\Delta x')}{2\Delta x'} =\lim_{\Delta x'\to 0} 1\cdot \cos (x+\Delta x') = \cos (x)$
$\\$
דוגמה:
$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}= e^x \cdot 1 = e^x $
$\\$
\begin{definition}
\begin{definition}
תהי $f$ פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $x_0 $ אז הפונקציה $p(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x-x_0) $ נקראת הישר המשיק לפונקציה $f$ בנקודה $x_0 $ (בעצם $f(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x-x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $ אז "זנחנוהזנחנו" את השגיאה ונשארנו עם ישר שמתנהג בערך כמו הפונקציה בסביבה קרובה של $x_0 $)
\end{definition}