$\frac{dh}{dx} (x_0) = \frac{dg}{df} (f(x_0))\cdot \frac{df}{dx} (x_0) $
אם הכתיב האחרון נראה לכם מוזר ועושה לכם כאב ראש, אל תדאגו, זה בעיקר בשביל הפיזיקאים אבל אתן בכל זאת דוגמה:\end{thm}
אם הכתיב האחרון נראה לכם מוזר ועושה לכם כאב ראש, אל תדאגו, זה בעיקר בשביל הפיזיקאים, אבל בכל מקרה הנה דוגמה: אם נגדיר $g(u)=\sin u $ אבל $u(x)=x^2 $ אז הנגזרת של $h(x)=g(u(x))=\sin x^2 $ היא $\frac{dg}{du} (u(x))\cdot \frac{du}{dx} $ אבל $\frac{dg}{du} $ זה $=\cos u $ ו- $\frac{du}{dx}=2x $ ולכן סך הכל נקבל $$\cos (u(x)) \cdot 2x = \cos (x^2 ) \cdot 2x $$
\end{thm}
\begin{proof}
ידוע ש-
$$f(x_0+t)=f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t \ \text{when }$$כש- $\epsilon_1(t)\underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0 \\$ ובנוסף, $$g(y_0+s)=g(y_0)+g'(y_0) s + \epsilon_2(s)\cdot s\ \text{when } $$כש- $\epsilon_2(s) \underset{s\to 0} {\longrightarrow} 0 $ ולכן. לכן:
$$h(x_0+t)=g((f(x_0)+t))=g\left (f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t\right )=$$$$g(f(x_0))+g'(f(x_0))(f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t)+\epsilon_2 (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))\cdot (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))= \\$$$$g(f(x_0))+g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \cdot t + o(t)_{t\to 0} \Rightarrow (g(f(x)))'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $$
\end{proof}