<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
\subsection{הגדרת סדרה}
הגדרה: סדרה היא פונקציה $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $, כלומר התאמה בין המספרים הטבעיים למספרים הממשיים. לכל מספר טבעי מתאימים מספר ממשי. דוגמה לכך תהיה פונקציה שמתאימה את 1 ל-1, את 2 ל-$ \frac{1}{2} $, את 3 ל- $\frac{1}{3} $ ובאופן כללי את $ n $ ל- $\frac{1}{n} $ (נהוג לסמן $ a_n $ במקום $ f(n) $ בהקשר של סדרות ולכן פה $ a_n=\frac{1}{n} $ ). כשאנחנו מתאימים את המספר הטבעי $ n $ למספר ממשי $ a_n $, זה אומר אינטואיטיבית ש- $ a_n $ זה האיבר במקום ה- $ n $. כך לדוגמה את הפונקציה שהתאימה את $ n $ ל- $ \frac{1}{n} $ ניתן לראות בעצם כמה שאנחנו מכירים כסדרה:
יהי אפסילון גדול מ-0 (מישהו נתן לי מרחק ממש קטן, אולי $\epsilon=0.0000001 $ או אולי $ \epsilon=10^{-10000} $ או אולי אפילו קטן יותר). אנחנו צריכים למצוא $ N $ שלכל $ n>N $, $ |a_n-0|<\epsilon $, אבל זה בדיוק אומר ש- $ |\frac{1}{n}|<\epsilon| $, וזה קורה אם $ n>\frac{1}{\epsilon} $ (העברת אגפים פשוטה). לכן אם ניקח N שגדול מאחד חלקי אפסילון, יתקיים שלכל האיברים אחריו, המרחק ביניהם ל-0 קטן מאפסילון. בדיוק מה שהיינו צריכים להוכיח!
\subsection{גבולות אינסופיים}
ראינו מה קורה לגבי סדרות ששואפות למספר, אבל לפעמים נוח להגיד שסדרה "שואפת לאינסוף", כמו במקרה של $ 1,2,3,4,\cdots $ . מתי נגיד שזה מתקיים? אם הסדרה מצליחה בסופו של דבר לעקוף כל מספר, לא חשוב כמה הוא גדול. במובנים מתמטיים, זה אומר שלכל $ M $ (מספר גדול) קיים מקום בסדרה $ N $ שכל האיברים אחריו (לכל $ n>N $ ), הסדרה תהיה גדולה יותר מהמספר הגדול $ M $ . בשפת כמתים:
<tex>קוד$ \lim_{n\to \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall M \exists N\in \mathbb{N} :זנב</texa_n >M $ באותו אופן, אפשר להגדיר שאיפה למינוס אינסוף: $ \lim_{n\to \infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow \forall M \exists N\in \mathbb{N} : a_n </latex2pdf>M $