הגדרה: שנאמר שסדרה $ \{a_n\}_{n=1}^\infty $ "שואפת" (או "מתכנסת") למספר $ L $ ונסמן $ \lim_{n\to\infty} a_n = L $ או $ a_n\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}L $ אם $ \forall \epsilon>0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n>N_\epsilon:|a_n-L|<\epsilon $ . נכון שזה נראה מאוד מפחיד במבט ראשון, אך בעצם זה גם דבר הגיוני. "בלשון בני אדם", ההגדרה אומרת שלכל מרחק שיתנו לי מהגבול, לא חשוב כמה קטן (זהו האפסילון), אני יכול למצוא מקום בסדרה (זה ה- $N_\epsilon $, מקום בסדרה שתלוי במרחק הקטן אפסילון שנתנו לי), שכל האיברים אחרי המקום ההוא (לכל המקומות $ n $ ש- $ n > N_\epsilon $) מקיימים שהמרחק שלהם מהגבול ( $ |a_n-L| $ זה המרחק בין האיבר $ a_n $ לגבול $ L $ ) קטן מאפסילון, המרחק ההתחלתי הקטן.
לדוגמה, במקרה של $ a_n=\frac{1}{n} $, נרצה להוכיח שזה שואף ל-0. כלומר לכל מרחק מ-0, לא חשוב כמה קטן (אפסילון), אמצא מקום בסדרה שכל האיברים אחריו מקיימים ש- $ |a_n - 0| <\epsilon $ (המרחק בין האיבר לגבול, 0, קטן מאפסילון). לדוגמה, אם מישהו יתן לי את המרחק $ epsilon=0.0001 \ $, אם נסתכל על האיבר במקום ה- $ N=10000 $, המרחק בין האיברים שבאים אחריו לבין 0 יהיה קטן מ- $ 0.0001 $ (אפסילון). איך נוכיח אז שזה עובד לכל אפסילון?
יהי אפסילון גדול מ-0 (מישהו נתן לי מרחק ממש קטן, אולי $\epsilon=0.0000001 $ או אולי $ \epsilon=10^{-10000} $ או אולי אפילו קטן יותר). אנחנו צריכים למצוא $ N $ שלכל $ n>N $, $ |a_n-0|<\epsilon $, אבל זה בדיוק אומר ש- $ |\frac{1}{n}|<\epsilon| $, וזה קורה אם $ n>\frac{1}{\epsilon} $ (העברת אגפים פשוטה). לכן אם ניקח N שגדול מאחד חלקי אפסילון, יתקיים שלכל האיברים אחריו, המרחק ביניהם ל-0 קטן מאפסילון. בדיוק מה שהיינו צריכים להוכיח!