יהי אפסילון גדול מ-$0$ (מישהו נתן לי מרחק ממש קטן, אולי $\varepsilon=0.0000001 $ או אולי $ \epsilon=10^{-10000} $ או אולי אפילו קטן יותר).\\
אנחנו צריכים למצוא $ N $ שלכל $ n>N $ יתקיים $ |a_n-0|<\varepsilon $, אבל זה בדיוק אומר ש- $ |\frac{1}{n}|<\varepsilon $, וזה קורה אם $ n>\frac{1}{\epsilon} $ (העברת אגפים פשוטה). לכן אם ניקח N שגדול מאחד חלקי אפסילון, יתקיים שלכל האיברים אחריו, המרחק ביניהם ל-$0$ קטן מאפסילון. בדיוק מה שהיינו צריכים להוכיח!
\end{example}
\begin{example}
הרבה אנשים שנתקלים בהתחלה במושג הגבול רואים את הסדרה
$$ -1,1,-1,1,-1,...$$
שהיא הסדרה $a_n=(-1)^n $ וחושבים שהסדרה מתכנסת ל-$0$, אך זה לא נכון. נראה את זה מהגדרת הגבול:\\
אם $a_n\to 0 $ אזי
$$\forall \varepsilon>0 \exists N \forall n>N : |a_n-0|<\varepsilon $$
אבל אם ניקח לדוגמה $\varepsilon=\frac{1}{2} $ נראה כי תמיד $|a_n-0|=1>\frac{1}{2}=\varepsilon $ ולכן הגדרת הגבול לא מתקיימת!\\
יותר מזה, לסדרה אין גבול, ואת זה נשאיר כתרגיל.
\end{example}
\end{proof}
\end{remark}
\begin{example}
הרבה אנשים שנתקלים בהתחלה במושג הגבול רואים את הסדרה
$$ -1,1,-1,1,-1,...$$
שהיא הסדרה $a_n=(-1)^n $ וחושבים שהסדרה מתכנסת ל-$0$, אך זה לא נכון. נראה את זה מהגדרת הגבול:\\
אם $a_n\to 0 $ אזי
$$\forall \varepsilon>0 \exists N \forall n>N : |a_n-0|<\varepsilon $$
אבל אם ניקח לדוגמה $\varepsilon=\frac{1}{2} $ נראה כי תמיד $|a_n-0|=1>\frac{1}{2}=\varepsilon $ ולכן הגדרת הגבול לא מתקיימת!\\
יותר מזה, לסדרה אין גבול, ואת זה נשאיר כתרגיל.
\end{example}