הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סכום ישר המושרה מפירוק בסיס"
(יצירת דף עם התוכן "נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, $V$, כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא ב...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, $V$, כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא באמצעות לקיחת בסיס של $V$ ופירוקו לתתי-קבוצות. כל תת-קבוצה תפרוש מרחב בסכום. | נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, $V$, כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא באמצעות לקיחת בסיס של $V$ ופירוקו לתתי-קבוצות. כל תת-קבוצה תפרוש מרחב בסכום. | ||
| − | \ | + | \begin{lem} |
אם בסיס $B$ של $V$ הוא איחוד זר של הקבוצות $B_1,\dots,B_k$, ואם לכל $i=1,\dots,k$, | אם בסיס $B$ של $V$ הוא איחוד זר של הקבוצות $B_1,\dots,B_k$, ואם לכל $i=1,\dots,k$, | ||
| − | $U_i=span\left(B_i\right)$, | + | $U_i=\operatorname{span}\left(B_i\right)$, |
אזי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$. | אזי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$. | ||
| − | \ | + | \end{lem} |
| − | + | \begin{proof} | |
| − | נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך $W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i$ | + | נתחיל מלהוכיח ש-$V=U_1+\cdots+U_k$, ז"א שכל $x\in V$ ניתן להצגה כסכום |
| − | נניח שקיים $x\in \tilde{W}$ ו-$x\in U_i$. ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_1\cup\cdots\cup B_{i-1}$, כלומר גם כסכום $x=u_1+\cdots+u_{i-1}$, כאשר לכל $j=1,\dots,i-1$, מתקיים $u_j\in U_j$, והוא צירוף לינארי של איברי $B_j$. | + | $$x=u_1+\cdots+u_k$$ |
| + | כך שלכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$. זה נובע מההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$. | ||
| + | |||
| + | נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך | ||
| + | $$W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i$$ | ||
| + | נניח שקיים $x\in \tilde{W}$ ו-$x\in U_i$. לכן, ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_1\cup\cdots\cup B_{i-1}$, כלומר גם כסכום $x=u_1+\cdots+u_{i-1}$, כאשר לכל $j=1,\dots,i-1$, מתקיים $u_j\in U_j$, והוא צירוף לינארי של איברי $B_j$. | ||
כמו כן, $x$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_i$, כי $x\in U_i$. | כמו כן, $x$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_i$, כי $x\in U_i$. | ||
עם זאת, מתקיים $\left(B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} \right )\cap B_i=\emptyset$. לכן, מיחידות ההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$, נובע שכל המקדמים בצירופים הם אפסים, ולכן $x=0$. | עם זאת, מתקיים $\left(B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} \right )\cap B_i=\emptyset$. לכן, מיחידות ההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$, נובע שכל המקדמים בצירופים הם אפסים, ולכן $x=0$. | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, $V$, כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא באמצעות לקיחת בסיס של $V$ ופירוקו לתתי-קבוצות. כל תת-קבוצה תפרוש מרחב בסכום.
\begin{lem}
אם בסיס $B$ של $V$ הוא איחוד זר של הקבוצות $B_1,\dots,B_k$, ואם לכל $i=1,\dots,k$, $U_i=\operatorname{span}\left(B_i\right)$, אזי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$.
\end{lem}
\begin{proof}
נתחיל מלהוכיח ש-$V=U_1+\cdots+U_k$, ז"א שכל $x\in V$ ניתן להצגה כסכום $$x=u_1+\cdots+u_k$$ כך שלכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$. זה נובע מההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$.
נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך $$W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i$$ נניח שקיים $x\in \tilde{W}$ ו-$x\in U_i$. לכן, ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_1\cup\cdots\cup B_{i-1}$, כלומר גם כסכום $x=u_1+\cdots+u_{i-1}$, כאשר לכל $j=1,\dots,i-1$, מתקיים $u_j\in U_j$, והוא צירוף לינארי של איברי $B_j$. כמו כן, $x$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_i$, כי $x\in U_i$.
עם זאת, מתקיים $\left(B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} \right )\cap B_i=\emptyset$. לכן, מיחידות ההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$, נובע שכל המקדמים בצירופים הם אפסים, ולכן $x=0$.
\end{proof}
