נתחיל מלהוכיח ש-$V=U_1+\cdots+U_k$, ז"א שכל $x\in V$ ניתן להצגה כסכום
$$x=u_1+\cdots+u_k$$
כך שלכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$. זה נובע ישירות מההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$.
נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך
$$W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i$$
נניח שקיים $x\in \tilde{W}$ ו-$x\in U_i$. לכן, ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_1\cup\cdots\cup B_{i-1}$, כלומר גם כסכום $x=u_1+\cdots+u_{i-1}$, כאשר לכל $j=1,\dots,i-1$, מתקיים $u_j\in U_j$, והוא צירוף לינארי של איברי $B_j$.
כמו כן, $x$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_i$, כי $x\in U_i$.