קוד:פולינום אופייני של אופרטור מצומצם למרחב עצמי מוכלל

\textbf{למה:}

יהי $T_0=T|_{K_\lambda}$, $m=\dim K_\lambda$. אזי $p_{T_0}\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. במילים אחרות, אם מצמצמים אופרטור למרחב עצמי מוכלל שלו, יש לו ערך עצמי יחיד, והוא $\lambda$.

\textit{הוכחה:}

נתבונן באופרטור $T_0-\lambda I:K_\lambda\rightarrow K_\lambda$. האופרטור $T_0-\lambda I$ הוא אופרטור נילפוטנטי, כי $\left(T-\lambda I\right)^n=0$ )זכרו שאנחנו במרחב העצמי המוכלל(. לכן, הפולינום האופייני של $T_0-\lambda I$ הוא $p_{T_0-\lambda I}\left(y\right)=y^m$ )לפי הלמה הקודמת(. לפי ההגדרה,

$y^m=p_{T_0-\lambda I}\left(y\right)=\det\left(yI-\left(T_0-\lambda I \right ) \right )=\det\left(\left(y+\lambda \right )I-T_0 \right )$

נחליף את המשתנה: $x:=y+\lambda$ )לכן $y=x-\lambda$(. נקבל

$\left(x-\lambda \right )^m=\det\left(xI-T_0 \right )=p_{T_0}\left(x \right )$

כדרוש.