קוד:פולינום אופייני של מטריצות דומות

\begin{remark}

למטריצות דומות אותו הפולינום האופייני. בכיוון ההפוך - איננו נכון.

\end{remark}

\begin{proof}

אם $A\sim A'$, אזי קיימת $P$ כך ש-$A'=P^{-1}AP$. אם כן, $$p_{A'}\left ( x \right )=\det\left ( xI-A' \right )=\det\left ( xI-P^{-1}AP \right )=\det\left ( xP^{-1}IP-P^{-1}AP \right )=$$ $$=\det\left ( P^{-1}\left ( xI-A \right ) P\right )=\det\left ( P^{-1} \right )\det\left ( xI-A \right )\det\left ( P \right )=$$ $$=\frac{1}{\det\left ( P \right )}\det\left ( xI-A \right )\det\left ( P \right )=\det\left ( xI-A \right )=p_A\left ( x \right )$$

הפרכת הכיוון הנגדי: ניקח $$A=I=\left ( \begin{matrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right ),\quad $A'=J_2\left ( 1 \right )=\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{matrix} \right )$$ מניתוח קודם, $A\nsim A'$, אבל קל לוודא שאכן $p_A\left ( x \right )=p_{A'}\left ( x \right )$.

\end{proof}