שינויים

מהמשפט האחרון אפשר להגיע למסקנה לגבי אומדן השארית בחישוב עם פולינום טיילור:

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n+1$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$, ונרשום $R_n(x,x_0)=f(x)-P_n(x,x_0)$. עוד נניח שהנגזרת ה-$n+1$ של $f$ חסומה בין $x_0$ ל-$x$, כלומר קיים \(M>0\) שעבורו לכל $c$ בין $x_0$ ל-$x$, $\left|f^{(n+1)}(c)\right|\leq M$. אזי השגיאה מקיימת

$$|f(x)-P_n(x,x_0)|=|R_n(x,x_0)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$$