\item פולינום טיילור של $e^x$ סביב $x_0=0$ מסדר $n$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}x^k}$.
\item פולינום טיילור של $\ln(1+x)$ סביב $x_0=0$ מסדר $n$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k}$.
\item פולינום טיילור של $\sin(x)$ סביב $x_0=0$ מסדר $2n+1$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}}$.
\begin{thm}[פיתוח טיילור עם שארית בצורת פיאנו]
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$, ונרשום $R_n(x,x_0)=f(x)-P_n(x,x_0)$. אזי
$$\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x,x_0)}{(x-x_0)^n}}=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x,x_0)}{(x-x_0)^n}}=0$$
\end{thm}
\begin{thm}[פיתוח טיילור עם שארית בצורת לגראנז']
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n+1$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$, ונרשום $R_n(x,x_0)=f(x)-P_n(x,x_0)$. אזי קיימת נקודה $c$ בין $x_0$ ל-$x$ שעבורה
$$f(x)-P_n(x,x_0)=R_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)(c)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
(כמובן, $c$ תלוי ב-$x$).
מהמשפט האחרון אפשר להגיע למסקנה לגבי אומדן השארית בחישוב עם פולינום טיילור:
\begin{corollarycor}
תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n+1$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$, ונרשום $R_n(x,x_0)=f(x)-P_n(x,x_0)$. עוד נניח שהנגזרת ה-$n+1$ של $f$ חסומה בין $x_0$ ל-$x$, כלומר קיים \(M>0\) שעבורו לכל $c$ בין $x_0$ ל-$x$, $\left|f^{(n+1)}(c)\right|\leq M$. אזי השגיאה מקיימת
$$|f(x)-P_n(x,x_0)|=|R_n(x,x_0)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$$
\end{corollarycor} \begin{example}נחשב את $\log 1.5 $ בקירוב של 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית. נסתכל על $f(x)=\log(1+x) $ . אנו זוכרים כי פולינום טיילור של $f$ מסדר $7$ סביב $x_0=0$ הוא: $$P_7(x,0)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}$$ לפי לגרנז' השארית היא מהצורה $f(0.5)-P_7(0.5,0)=R_7(0.5,0)=\frac{f^{(8)}(c)}{8!} (0.5-0)^8 $ עבור $0<c<0.5$; אבל $$|f^{(8)}(c)|=\left |-\frac{5040}{(1+c)^8}\right | \leq \frac{5040}{(1+0)^5} = 5040 $$ (אי השוויון נכון משום ש-$c\in (0,0.5) $). מכאן שהשגיאה חסומה על ידי $$|f(0.5)-P_7(0.5,0)|\leq \frac{5040}{8!} 0.5^8 < 0.001 $$ לכן הפולינום מסדר 7 נותן קירוב טוב מספיק, ואז אם נציב $x=0.5$ נקבל מספר ש-3 הספרות הראשונות שלו אחרי הנקודה הן $0.405$ ולכן אם ניקח את הקירוב ל-2 ספרות אחרי הנקודה נקבל $0.41$ .\end{example} נראה שימוש נוסף של פולינום טיילור, והפעם - לחישוב גבולות. \begin{example} נרצה לחשב את$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x-e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^4}$$ נזכור כי פולינומי טיילור מסדר $4$ של הפונקציות הם: $$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+R_1(x) , e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}+R_2(x)$$ כאשר ידוע, לפי השארית בצורת פיאנו, $$\lim_{x\to0}\frac{R_1(x)}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{R_2(x)}{x^4}=0$$ נציב את הפיתוחים בגבול, ונקבל: $$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x-e^{\frac{x^2}{2}}}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+R_1(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-R_2(x)}{x^4}=$$$$=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^4}{12}+R_1(x)-R_2(x)}{x^4}=-\frac{1}{12}$$ \end{example}