שינויים
מי שזוכר מהתיכון, תמיד בחקירת פונקציות היה צריך למצוא "נק' פיתול" ו"תחומי קעירות וקמירות". בשלב זה אתם אמורים לשים לב שמתמטיקאים לא מגדירים דברים כמו "קמור זה כשזה נראה מחייך" כמו שעשינו בתיכון. בחלק הזה נפרמל את הדברים ונראה גם שימוש של זה.
\boxed{\Leftarrow}
יהיו $x_1,x_2\in (a,b) $ ובה"כ $x_1<x_2 $. ידוע ש- $f$ קמורה ולכן $\forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $. כעת נשים לב $$\frac{f(x_1+\lambda(x_2-x_1)) - f(x_1)}{\lambda (x_2-x_1)}\leq \frac{f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1))-f(x_1)}{\lambda (x_2-x_1)} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{(x_2-x_1)} $$ אבל אם $\lambda\to 0 $ נקבל לפי הגדרה בצד שמאל את $f'(x_1)$ ולכן $f'(x_1)\leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ מצד שני $$\frac{f(x_2+\lambda(x_1-x_2)) - f(x_2)}{\underset{\text{is negative}}{\underbrace{\lambda (x_1-x_2)}}}\geq \frac{f(x_2)+\lambda (f(x_1)-f(x_2))-f(x_2)}{\lambda (x_1-x_2)} = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{(x_1-x_2)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$ אבל אם $\lambda\to 0 $ נקבל לפי הגדרה בצד שמאל את $f'(x_2)$ ולכן $f'(x_2)\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ לסיכום $$f'(x_1)\leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \leq f'(x_2) $$ לכן $f' \nearrow $ \boxed{\Rightarrow} עבור $0<\lambda<1 $ נגדיר $c=x_1+\lambda (x_2-x_1) $ . ממשפט לגרנז' מתקיים ש- $\exists \xi_1 \in (x_1,c),\xi_2 \in (c,x_2) : f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(x_1)}{c-x_1} , f'(\xi_2)=\frac{f(x_2)-f(c)}{x_2-c} $ אבל $f' $ מונוטונית עולה ולכן $f'(\xi_1)\leq f'(\xi_2) \Rightarrow \frac{f(c)-f(x_1)}{c-x_1} \leq \frac{f(x_2)-f(c)}{x_2-c} $ נכפיל במכנה של כל צד (שניהם חיוביים) ונקבל $$(x_2-c)(f(c)-f(x_1)) \leq (c-x_1)(f(x_2)-f(c)) \Rightarrow (x_2-c)f(c)+(c-x_1)f(c) \leq (c-x_1)f(x_2)+(x_2-c)f(x_1) \Rightarrow$$$$f(c)\leq \frac{x_2-c}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{c-x_1}{x_2-x_1}f(x_2) \Rightarrow$$$$f(x_1+\lambda (x_2-x_1))\leq \frac{(1-\lambda) (x_2-x_1)}{x_2-x_1} f(x_1)+ \frac{\lambda (x_2-x_1)}{x_2-x_1}} f(x_2) =$$$$(1-\lambda) f(x_1)+\lambda f(x_2)=f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $$ כמו שרצינו.
\end{proof}
