פונקציה נקראת קמורה ממש אם
$$\forall x_1\neq x_2 \forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))<f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $$
באופן אנלוגי מגדירים קעורה וקעורה ממש.
מצד שני
$$\frac{f(x_2+\lambda(x_1-x_2)) - f(x_2)}{\underset{\text{is negative}}{\underbrace{\lambda (x_1-x_2)}}}\geq \frac{f(x_2)+\lambda (f(x_1)-f(x_2))-f(x_2)}{\lambda (x_1-x_2)} = $$$$ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{(x_1-x_2)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$
אבל אם $\lambda\to 0 $ נקבל לפי הגדרה בצד שמאל את $f'(x_2)$ ולכן $f'(x_2)\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $
אבל $f' $ מונוטונית עולה ולכן $f'(\xi_1)\leq f'(\xi_2) \Rightarrow \frac{f(c)-f(x_1)}{c-x_1} \leq \frac{f(x_2)-f(c)}{x_2-c} $ נכפיל במכנה של כל צד (שניהם חיוביים) ונקבל
$$(x_2-c)(f(c)-f(x_1)) \leq (c-x_1)(f(x_2)-f(c)) \Rightarrow $$$$(x_2-c)f(c)+(c-x_1)f(c) \leq (c-x_1)f(x_2)+(x_2-c)f(x_1) \Rightarrow$$
$$f(c)\leq \frac{x_2-c}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{c-x_1}{x_2-x_1}f(x_2) \Rightarrow$$
$$f(x_1+\lambda (x_2-x_1))\leq \frac{(1-\lambda) (x_2-x_1)}{x_2-x_1} f(x_1)+ \frac{\lambda (x_2-x_1)}{x_2-x_1}} f(x_2) =$$