<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
\begin{definition}
פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $
\begin{proof}
מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי. יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ . כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח שלא רציפה$y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז $\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה!
\end{proof}
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>