\begin{thm}
נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:
1. $(\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0) $ עבור $\alpha,\beta $ קבועים.begin{enumerate}
2. \item $(fg\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) g(x_0) + f(x_0)\beta g'(x_0) $ (זה נקרא כלל לייבניץ)עבור $\alpha,\beta $ קבועים.
3. במידה ו- \item $g(x_0fg)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $'(\frac{1}{g(x)}x_0)= f'(x_0) $ והיא שווה ל- $-\frac{g'(x_0)}{+ f(x_0)g'(x_0))^2} $(זה נקרא כלל לייבניץ)
4. \item במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{1}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $-\frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $ \item במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $ \end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}1. $\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} = \alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0) $
2.$ f(x_0+t)\cdot g(x_0+t)=(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(g(x_0)+g'(x_0) t + o(t))=f(x_0)g(x_0)+(f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0))t+o(t) $ וממה שראינו על הדיפרנציאל, $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) $begin{enumerate}
3. \item $$\lim_{x\to x_0} \frac{(\alpha f + \beta g)(x)-(\alpha f + \beta g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} =$$$$\alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0) $$ \item $$f(x_0+t)\cdot g(x_0+t)=(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(g(x_0)+g'(x_0) t + o(t))=$$$$f(x_0)g(x_0)+(f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0))t+o(t)$$וממה שראינו על הדיפרנציאל, $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) $ \item $$\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{1}{g(x_0)g(x)} \frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1}{(g(x_0))^2} \cdot -g'(x_0) $$ \item$$(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $$\end{enumerate}
4. $(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $
\end{proof}
\begin{proof}
באינדוקציה, ראינו שעבור $n=1$ זהו קו ישר שהנגזרת שלו היא $1=1\cdot x^0 $. כעת נניח שזה נכון עבור $n$ ונוכיח עבור $n+1$ :
$$(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) x^{n-1} = nx^{n-1} $$
\end{proof}
