\begin{proof}
נניח שקיימים $v_1,\dots,v_n\in S$ וסקלרים ו-$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{F}$ כך ש-$\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n=0$. "נכפול" ב-$v_1$ את שני הצדדים:
$$\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_1 \right \rangle=\left \langle 0,v_1 \right \rangle\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle+\cdots+\alpha_n\left \langle v_n,v_1 \right \rangle=0\Rightarrow\\$$
$$\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle=0\overset{v_1\neq 0}{\Rightarrow}\alpha_1=0$$