קוד:קבוצה אורתוגונלית בלי אפס בלתי תלויה

\begin{thm}

אם $S$ קבוצה אורתוגונלית, וכן $0\notin S$, אזי $S$ קבוצה בלתי תלויה לינארית.

\end{thm}

\begin{proof}

נניח שקיימים $v_1,\dots,v_n\in S$ וסקלרים $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{F}$ כך ש-$\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n=0$. "נכפול" ב-$v_1$ את שני הצדדים:

$$\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_1 \right \rangle=\left \langle 0,v_1 \right \rangle\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle+\cdots+\alpha_n\left \langle v_n,v_1 \right \rangle=0\Rightarrow\\$$ $$\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle=0\overset{v_1\neq 0}{\Rightarrow}\alpha_1=0$$

באופן דומה נמשיך ונקבל $\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0$.

\end{proof}