שינויים
$$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
כאשר $c\in[x_0,x] \cup [x,x_0]$ (לא ידוע מי קטן יותר ממי), או במילים אחרות דרך אחרת לכתוב את זה היא\\$\exists 0\leq t\leq 1 : c=x_0+t(x-x_0) $ . במילים אחרות
$$R_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
$$ \frac{R_n(x,x_0)-0}{(x-x_0)^{n+1}} \Rightarrow R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
\end{proof}
\begin{example}
חשב את $\log 1.5 $ בקירוב של 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.\\
פתרון: נסתכל על $f(x)=\log(1+x) $ . נראה כי
$$P_7(x,0)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}$$
לפי לגרנז' השארית $f(0.5)-P_7(0.5,0)=R_7(0.5,0)=\frac{f^{(8)}(c)}{8!} (0.5-0)^8 $ עבור\\
$0<c<0.5$
$$|f^{(8)}(c)|=\left |-\frac{5040}{(1+c)^8}\right | \leq \frac{5040}{(1+0)^5} = 5040 $$
(אי השיוויון נכון משום ש-$c\in (0,0.5) $ )
מכאן ש-
$$|f(0.5)-P_7(0.5,0)|\leq \frac{5040}{8!} 0.5^8 < 0.001 $$
לכן הפולינום מסדר 7 נותן קירוב טוב מספיק, ואז אם נציב $x=0.5$ נקבל מספר ש-3 הספרות הראשונות שלו אחרי הנקודה הן $0.405$ ולכן אם ניקח את הקירוב ל-2 ספרות אחרי הנקודה נקבל $0.41$ .
\end{example}
