שינויים
\begin{theoremthm}משפט:[תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה]
הגבול $\displaystyle{\lim_{x\to a}} f(x) = L \Leftrightarrow \\ $ קיים אם ורק אם $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0 \forall forall_{x',x'' } : \left ( 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Leftarrow Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon\right )$$ \end{theoremthm}
\begin{proof}
\boxed{\Leftarrow}
יהי אפסילון גדול מ-$0$, אזי $$\exists \delta>0 \forall x : |x-a|<\delta \Leftarrow |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} $ $ניקח את אותו דלתא ונראה כי אם $|x'-a|,|x''-a|<\delta $ אז $$|f(x')-f(x'')|=|f(x')-a + a-f(x'')|\leq |f(x')-a|+|a-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $$
\boxed{\Rightarrow}
נבדוק שקיים גבול לפי היינה. תהי $x_n\to a $ כך ש- $x_n\neq a $ , ונוכיח ש- $f(x_n) $ סדרת קושי. יהי אפסילון גדול מ-$0 $ אז $$\exists \delta \forall x',x'' : 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Leftarrow Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon$ $אבל משום ש- $x_n\to a $ אז קיים $N$ כך ש- $\forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן בפרט $$\exists_N \forall n>m>N : |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon $ $מכאן שזו סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול $L$ . כעת נוכיח שזה הגבול לכל \\אבל עדיין יש להראות ש-$f(x_n) $, בלי תלות ב- $x_n$ המקוריתתתכנס תמיד לאותו מספר גם אם ניקח סדרות שונות. \\נניח $y_n\to a, y_n\neq a , f(y_n)\to l $ ונוכיח ש- $l=L$ . \\נניח בשלילה ש- $l\neq L $ , אזי אם ניקח $\varepsilon=\frac{|L-l|}{3} $ נראה שנגיע לסתירה עם הנתון, משום שמהגדרת הגבול קיים איבר שממנו והלאה $|f(x_n)-L|<\varepsilon $ ו- $|f(y_n)-l|<\varepsilon $ ואז לא יכול להיות ש- $|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon $ ומכאן הסתירה
\end{proof}
