שינויים
/* איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי */
==כמתים==
נתבונן בשני כמתים חשובים: הכמת "לכל" <math>\forall</math> (זו A הפוכה, קיצור המילה All) והכמת "קיים" <math>\exist</math> (זו E הפוכה, קיצור המילה Exist).
תפקיד מרכזי של הכמת הוא להבהיר את כוונת הטענה. למשל הטענה ש "סטונדט הוא יצור חרוץ" יכולה לקבל 2 משמעויות בעזרת הכמתים. או "כל סטודנט הוא יצור חרוץ" או "קיים סטודנט שהוא יצור חרוץ".
הטענה הראשונה טוענת לגבי כלל הסטודנטים (אם רוצים להוכיח כי הטענה נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם חרוצים ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה מספיק למצוא סטודנט אחד שאינו חרוץ).
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים).
===שלילת כמתים===
מהי השלילה של הפסוק "לכל סיר יש מכסה המתאים לו", או "לכל מאכל, יש מישהו שמכין אותו טעים"?
בעת שלילה של פסוק לוגי, הכמתים 'לכל' ו'קיים' מתחלפים זה עם זה, והשלילה עוברת הלאה. כלומר לכל טענה <math>P</math>,
* <math>\ \neg \forall x: P(x) \equiv \exists x: \neg P(x)</math>, וכך גם
* <math>\ \neg \exists x: P(x) \equiv \forall x: \neg P(x)</math>.
==קבוצות==
*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\triangle B</math>). מתקיים כי
<math>x\in A\triangle B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A))</math>
<math>\iff x\in (A\cup B) / \setminus (A\cap B)</math>
הדרכה למתרגל: צייר בשתי דיאגרמות את ההפרש הסימטרי, פעם ע"י ציור האיחוד ומחיקת החיתוך, ופעם ע"י איחוד ההפרשים, על מנת שיראו בציור את שקילות ההגדרות.
<math> A \triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>
====תרגיל====
מצד ימין נקבל: <math>(A\triangle B) \cap (A\triangle C)=\{2,3\}\cap \{1,3\}=\{3\}\neq A</math>.
===מכפלה קרטזית===
הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.
דוגמה: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו-<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>
למתכנתים: זה מאוד דומה ללולאות for מקוננות.
===תרגיל===
הוכיחו שלכל 4 קבוצות <math>A,B,C,D</math> מתקיים: <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math>
====פתרון====
<math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff </math>
<math>(x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff</math>
<math>(x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff</math>
<math>(x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff</math>
<math>(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math>
