נוספו 1,617 בתים,
10:47, 5 במאי 2021
בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת.
=גזירות=
פונקציה נגזרת גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.
בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.
==קירוב לינארי==
לפיכך, אם פונקציה במשתנה אחד גזירה בנקודה x אנחנו מצפים שעבורים צעדים "קטנים" h יתקיים:
<math>\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx f'(x)</math>
בנוסח אחר אנחנו מצפים כי
<math>f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h</math>
או
<math>f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h</math>
נשים לב כי הביטוי מימין הוא הישר המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה x, ואנחנו סה"כ אומרים שהפונקציה תהיה בערך שווה למשיק באיזור הנקודה.
===דוגמא===
עבור <math>f(x)=\sqrt(x)</math> מתקיים כי הנגזרת בנקודה <math>x=9</math> היא <math>f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}</math>
לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי
<math>\sqrt{10}=f(9+h)\approx f(9)+f'(9)\cdot h=3+\frac{1}{6}\cdot 1</math>
ואם נציב במחשבון את שני הצדדים נראה שאכן
<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>