שינויים
/* גזירות */
=גזירות=
פונקציה נגזרת נקראית גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.
בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.
<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>
[[קובץ:linearapprox.png| 800px]]
=נוסחאות הגזירה=
כאשר נסכום את שני המשיקים, נקבל בקלות את המשיק לפונקצית הסכום:
<math>(f+g)(x+h)=f(x+h)+g(x+h)\approx f(x)+g(x)+(f'(x)+g'(x))h</math>
===נגזרת המכפלה===
<math>(f\cdot g)(x+h)=f(x+h)g(x+h)\approx (f(x)+f'(x)h)(g(x)+g'(x)h)=f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h +f'(x)g'(x)h^2</math>
כבר יפה מאד! אנחנו רואים את המשיק <math>f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h</math> ואכן נגזרת המכפלה היא גזור שמור ועוד שמור גזור <math>(fg)'=f'g+fg'</math>.
נתחיל כמו במקרים הקודמים
<math>\left(\frac{f}{g}\right)(x+h)=\frac{f(x+h)}{g(x+h)}\approx \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}</math>
הפעם זה כלל לא נראה כמו משיק. אנחנו ציפינו לביטוי מהצורה <math>\frac{f(x)}{g(x)}+m\cdot h</math> כאשר m הוא שיפוע המשיק.
ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.
==נגזרת של הרכבת פונקציות==
לכן נחשב
<math>(f\circ g)(x+h)=f(g(x+h))\approx f(g(x)+g'(x)h)\approx f(g(x))+f'(g(x))(g'(x)h)</math>
אכן, הנגזרת של ההרכבה היא <math>(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)</math>
