קמירות

הגדרה

תהי $f$ פונקציה ממשית הגזירה בנקודה $a$ . אם קיימת סביבת $a$ עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה $a$ , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- $a$ .

באופן דומה, אם קיימת סביבת $a$ עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה $a$ , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב- $a$ .

(ראו גם נקודת פיתול.)

תנאי מספיק

אם $f$ גזירה פעמיים ברציפות בנקודה $a$ , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- $a$ . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.

הוכחה

לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:

$f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2$

מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- $a$ קיימת סביבת $a$ עבורה לכל $c$ מתקיים $f''(c)>0$ . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.