שינויים
==רציפות==
אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה</font>
תהי <math>f</math> פונקציה. אומרים כי <math>f</math> '''רציפה בנקודה''' <math>a</math> אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה
:<math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)</math>
'''שימו לב''' כי הגדרת הרציפות הינה הנה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.
;משפט
תהיינה <math>f,g</math> פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה <math>\dfrac{f}{g}</math> רציפה בדיוק בנקודות בהן <math>g\ne0</math> .
;משפט (הרכבה של רציפות)
תהי <math>g</math> פונקציה רציפה בנקודה <math>L</math> . תהי <math>f</math> פונקציה המקיימת <math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math> אזי
:<math>g(f(x))</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math>
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא</font>
תהיינה <math>f,g</math> פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על-ידי
:<math>\max(f,g)(x):=\max\Big\{f(x),g(x)\Big\}</math>
רציפה.
;הוכחה
קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הנה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי
:<math>\max(f,g)=\dfrac{f+g}{2}+\dfrac{|f-g|}{2}</math>
אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>\max(f,g)(x)=f(x)</math> , ולהפך.
אם כך, פונקצית המקסימום הנה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה.
==אי-רציפות==
<videoflash>UmJuPo5QnaU</videoflash>
פונקציה אינה רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:
#הגבול של הפונקציה ב-בנקודה <math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר
#הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>x_0</math>
#הגבול קיים במובן הצר, הפונקציה מוגדרת, אך ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה <math>x_0</math>
אנו מחלקים את נקודות אי-הרציפות לשלושה מקרים:
===אי-רציפות סליקה===
אומרים כי ל-<math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות סליקה''' בנקודה <math>x_0</math> אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר.
במקרה זה ניתן '''לתקן''' את הפונקציה בנקודה על-מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד <math>g</math> על-ידי:
:<math>g(x)=\begin{cases}f(x)&:x\ne x_0\\\lim\limits_{x\to x_0}f(x)&:x=x_0\end{cases}</math>
קל להוכיח כי <math>g</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math> .
===אי-רציפות ממין ראשון===
אומרים כי ל-<math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות ממין ראשון''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה '''קיימים במובן הצר ושונים'''.
במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשניה רציפה משמאל בנקודה.
===אי-רציפות ממין שני===
כל נקודת אי-רציפות אחרת מסווגת כ'''אי-רציפות ממין שני'''. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.
==תרגילים=אי רציפות סליקה=;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל</font>אומרים כי ל-f קיימת '''נקודת אי רציפות סליקה''' בנקודה תהי <math>x_0f</math> אם היא אינה פונקציה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר. מצא וסווג את נקודות אי-הרציפות של:<math>g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}</math>
בנקודה בה <math>f=0</math> ::*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>gf>0</math> , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה (x_0שכן הגבול בה הוא אחד):=\lim_{x\rightarrow x_0}.*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f<0</math> , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה.*אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה <math>f>0</math> , וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה <math>f<0</math> (xולהפך)זוהי נקודת אי-רציפות ממין ראשון (גבול חד-צדדי שווה 1, והשני 1-).*כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-<math>g</math>בנקודה.
;דוגמא
לפונקציה <math>\dfrac{\sin(x)}{|\sin(x)|}</math> יש נקודות אי-רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלמה של <math>\pi</math> .
<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל</font>
<math>f(x)=e^{-\frac1{\sin(x^2)}}</math>
כאשר <math>k=0</math> , מתקיים כי <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{\sin(x^2)}=\infty</math> כיון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באזור זה (הרי <math>x^2>0</math>). ולכן סה"כ::<math>\lim\limits_{x\to0}e^{-\frac1{\sin(x^2)}}=אי רציפות ממין שני===0</math>כל ולכן '''אפס''' היא נקודת אי -רציפות אחרת מסווגת כ '''אי רציפות ממין שניסליקה'''. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.
