==רציפות==
אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיוון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' OvCi6W1BOh8</font>תהי f פונקציה. אומרים כי f '''רציפה בנקודה a''' אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה::<math>\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)</mathvideoflash>
אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה</font>
תהי <math>f</math> פונקציה. אומרים כי <math>f</math> '''רציפה בנקודה''' <math>a</math> אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה
:<math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)</math>
'''שימו לב''' כי הגדרת הרציפות הינה הנה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.
''';משפט.''' תהיינה <math>f,g </math> פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה <math>\fracdfrac{f}{g}</math> רציפה בדיוק בנקודות בהן <math>g\neq 0ne0</math>.
'''משפט (הרכבה של רציפות).''' תהי g פונקציה רציפה בנקודה L. תהי f פונקציה המקיימת <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L</math> אזי
:;משפט (הרכבה של רציפות)תהי <math>g</math> פונקציה רציפה בנקודה <math>L</math> . תהי <math>f</math> פונקציה המקיימת <math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math> אזי:<math>g(f(x))</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math>
;<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font>תהיינה <math>f,g </math> פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על -ידי::<math>\max(f,g)(x):=\max\Big\{f(x),g(x)\Big\}</math>
רציפה.
''';הוכחה.'''קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הינה הנה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי :<math>\max(f,g)=\dfrac{f+g}{2}+\dfrac{|f-g|}{2}</math>אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>\max(f,g)(x)=f(x)</math> , ולהפך.
::<math>max(fאם כך,g)=\frac{f+g}{2}+\frac{|f-g|}{2}</math>פונקצית המקסימום הנה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה.
אכן, בנקודה בה ==אי-רציפות==<mathvideoflash>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>max(f,g)(x)=f(x)UmJuPo5QnaU</mathvideoflash>, ולהפך.
אם כך, פונקצית המקסימום הינה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה.
==אי רציפות==
פונקציה אינה רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:
#הגבול של הפונקציה ב-בנקודה <math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר
#הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>x_0</math>
#הגבול קיים במובן הצר, הפונקציה מוגדרת, אך ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה <math>x_0</math>
אנו מחלקים את נקודות אי-הרציפות לשלושה מקרים:
אנו מחלקים את נקודות ===אי הרציפות לשלושה מקרים:-רציפות סליקה===אומרים כי ל-<math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות סליקה''' בנקודה <math>x_0</math> אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר.
===אי רציפות סליקה===אומרים כי ל-f קיימת במקרה זה ניתן '''נקודת אי רציפות סליקהלתקן''' את הפונקציה בנקודה על-מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד <math>x_0g</math> אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר. על-ידי:
במקרה זה ניתן '''לתקן''' את הפונקציה בנקודה על מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד :<math>g על ידי(x)=\begin{cases}f(x)&:x\ne x_0\\\lim\limits_{x\to x_0}f(x)&:x=x_0\end{cases}</math>
::<math>g(x):=f(x)</math> כאשר <math>x\neq x_0</math>
::קל להוכיח כי <math>g(x_0):=\lim_{x\rightarrow </math> רציפה בנקודה <math>x_0}f(x)</math>.
===אי-רציפות ממין ראשון===
אומרים כי ל-<math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות ממין ראשון''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה '''קיימים במובן הצר ושונים'''.
במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשניה רציפה משמאל בנקודה.
קל להוכיח כי g רציפה בנקודה <math>x_0</math>===אי-רציפות ממין שני===כל נקודת אי-רציפות אחרת מסווגת כ'''אי-רציפות ממין שני'''. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.
===אי רציפות ממין ראשון===אומרים כי ל-f קיימת '''נקודת אי רציפות ממין ראשון''' בנקודה לדוגמא: <math>x_0\sin\left(\tfrac1x\right)</math> אם הגבולות החד צדדיים שלה בנקודה '''קיימים במובן הצר ושונים'''ב-0.
במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי ==תרגילים==;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל</font>תהי <math>f</math> פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשנייה רציפה משמאל בנקודה.מצא וסווג את נקודות אי-הרציפות של:<math>g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}</math>
===אי רציפות ממין שני===;פתרוןכל נקודת אי רציפות אחרת מסווגת כ '''אי כיון שזו חלוקה של פונקציות רציפות ממין שני'''. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה (ההרכבה של הנקודההערך המוחלט על פונקציה רציפה גם נותנת פונקציה רציפה), או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדיםאזי <math>g</math> רציפה בכל נקודה בה <math>f\ne0</math> .
לדוגמא: עוד נשים לב כי <math>sing(x)=\fracbegin{1cases}{1&:f(x})>0\\-1&:f(x)<0\end{cases}</math> באפס.
==תרגילים==בנקודה בה <font sizemath>f=4 color=#a7adcd0</math>:'''תרגיל*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f>0</math> , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).''' *אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f<0</fontmath>, זוהי נקודת אי-רציפות סליקה.תהי *אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה <math>f פונקציה רציפה. מצא וסווג את נקודות >0</math> , וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה <math>f<0</math> (ולהפך) זוהי נקודת אי הרציפות של-רציפות ממין ראשון (גבול חד-צדדי שווה 1, והשני 1-).::*כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-<math>g(x):=</math> בנקודה. ;דוגמאלפונקציה <math>\fracdfrac{f\sin(x)}{|f\sin(x)|}</math>יש נקודות אי-רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלמה של <math>\pi</math> .
'''פתרון.'''<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל</font>כיוון שזו חלוקה של פונקציות רציפות <math>f(ההרכבה של הערך המוחלט על פונקציה רציפה גם נותנת פונקציה רציפהx), אזי g רציפה בכל נקודה בה f שונה מאפס.=e^{-\frac1{\sin(x^2)}}</math>
עוד נשים לב;פתרוןכיון שזו הרכבה, שכאשר <math>f(x)>0</math> אזי <math>g(x)=1</math>של חלוקה, של הרכבה, של פונקציות רציפות, הפונקציה רציפה כאשר <math>f(x)<0</math> אזי <math>g(x)=כל הפונקציות מוגדרות ומכנה החלוקה שונה מ-1</math>0.על כן נקודות אי-הרציפות הן מהצורה:
<math>\pm\sqrt{\pi k}</math>
בנקודה בה f שווה לאפס:*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה f גדולה ממש מאפס, זוהי נקודת נחלק את נקודות אי רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה f קטנה ממש מאפס, זוהי נקודת אי רציפות סליקה.*אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה f גדולה מאפס, וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה f קטנה מאפס (ולהפך) זוהי נקודת אי רציפות ממין ראשון (גבול חד צדדי שווה אחד, והשני מינוס אחד). *כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-g בנקודההרציפות לשניים: <math>k=0</math> וכל השאר.
כאשר <math>k=0</math> , מתקיים כי <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{\sin(x^2)}=\infty</math> כיון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באזור זה (הרי <math>x^2>0</math>). ולכן סה"כ:
:<math>\lim\limits_{x\to0}e^{-\frac1{\sin(x^2)}}=0</math>
ולכן '''אפס''' היא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
בשאר הנקודות, הסינוס חיובי מצד אחד, ושלילי מהצד השני ולכן בצד אחד הפונקציה אינה חסומה, והן נקודות אי-רציפות מ'''דוגמא.מין שני'''לפונקציה <math>\frac{sin(x)}{|sin(x)|}</math> יש נקודות אי רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי.
