שינויים

אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיוון כיון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.

תהי <math>f </math> פונקציה. אומרים כי <math>f </math> '''רציפה בנקודה <math>a</math>''' אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה::<math>\lim_{x\rightarrow to a}f(x)=f(a)</math>

'''שימו לבמשפט.''' כי הגדרת הרציפות הינה נקודתיתתהיינה <math>f,g</math> פונקציות רציפות. נהוג לומר על פונקציה שהיא אזי פונקצית המנה <math>\frac{f}{g}</math> רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.בדיוק בנקודות בהן <math>g\ne 0</math>

'''משפט(הרכבה של רציפות).''' תהיינה f,g פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה תהי <math>\frac{f}{g}</math> פונקציה רציפה בדיוק בנקודות בהן בנקודה <math>g\neq 0L</math> '''משפט (הרכבה של רציפות).''' תהי g פונקציה רציפה בנקודה L. תהי <math>f </math> פונקציה המקיימת <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}f(x)=L</math> אזי ::<math>g(f(x))</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math>

תהיינה <math>f,g </math> פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על -ידי::<math>\max(f,g)(x):=\max\Big\{f(x),g(x)\Big\}</math>

קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הינה הנה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי :<math>\max(f,g)=\frac{f+g}{2}+\frac{|f-g|}{2}</math>אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>\max(f,g)(x)=f(x)</math> , ולהפך.

::<math>max(fאם כך,g)=\frac{f+g}{2}+\frac{|f-g|}{2}</math>פונקצית המקסימום הנה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה.

אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>max(f,g)(x)=f(x)</math>, ולהפך.  אם כך, פונקצית המקסימום הינה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה. ==אי -רציפות==

#הגבול של הפונקציה ב-<math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר

אנו מחלקים את נקודות ===אי הרציפות לשלושה מקרים:-רציפות סליקה===אומרים כי ל-f קיימת '''נקודת אי-רציפות סליקה''' בנקודה <math>x_0</math> אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר.

===אי רציפות סליקה===אומרים כי ל-f קיימת במקרה זה ניתן '''נקודת אי רציפות סליקהלתקן''' את הפונקציה בנקודה על-מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד <math>x_0g</math> אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר. על-ידי:

במקרה זה ניתן '''לתקן''' את הפונקציה בנקודה על מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד :<math>g(x):=f(x)</math> כאשר <math>x\ne x_0</math>:<math>g על ידי(x_0):=\lim_{x\to x_0}f(x)</math>

::קל להוכיח כי <math>g(x_0):=\lim_{x\rightarrow </math> רציפה בנקודה <math>x_0}f(x)</math>

===אי רציפות ממין ראשון===אומרים כי ל-f קיימת '''נקודת אי רציפות ממין ראשון''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבולות החד צדדיים שלה בנקודה '''קיימים במובן הצר ושונים'''.  במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשנייה רציפה משמאל בנקודה. ===אי רציפות ממין שני===כל נקודת אי רציפות אחרת מסווגת כ '''אי רציפות ממין שני'''. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.  לדוגמא: <math>\sin\left(\fractfrac{1}{x}\right)</math> באפס.

תהי <math>f </math> פונקציה רציפה. מצא וסווג את נקודות אי -הרציפות של::<math>g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}</math>

כיוון כיון שזו חלוקה של פונקציות רציפות (ההרכבה של הערך המוחלט על פונקציה רציפה גם נותנת פונקציה רציפה), אזי <math>g </math> רציפה בכל נקודה בה <math>f </math> שונה מאפס.

עוד נשים לב, שכאשר <math>f(x)>0</math> אזי <math>g(x)=1</math>, כאשר <math>f(x)<0</math> אזי <math>g(x)=-1</math>.

בנקודה בה <math>f </math> שווה לאפס:*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f גדולה ממש מאפס>0</math> , זוהי נקודת אי -רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f קטנה ממש מאפס<0</math> , זוהי נקודת אי -רציפות סליקה.*אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה <math>f גדולה מאפס>0</math> , וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה <math>f קטנה מאפס <0</math> (ולהפך) זוהי נקודת אי -רציפות ממין ראשון (גבול חד -צדדי שווה אחד<math>1</math> , והשני מינוס אחד<math>-1</math> ).

לפונקציה <math>\frac{\sin(x)}{|\sin(x)|}</math> יש נקודות אי -רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי. 

<math>f(x)=e^{-\frac{1}{\sin(x^2)}}</math> 

 כיוון כיון שזו הרכבה, של חלוקה, של הרכבה, של פונקציות רציפות, הפונקציה רציפה כאשר כל הפונקציות מוגדרות ומכנה החלוקה שונה מאפס. על כן נקודות אי -הרציפות הן מהצורה:

נחלק את נקודות אי -הרציפות לשניים: <math>k=0</math> וכל השאר. כאשר <math>k=0</math>, מתקיים כי <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{sin (x^2)}=\infty</math> כיוון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באיזור זה (הרי <math>x^2</math> גדול ממש מאפס). ולכן סה"כ:  ::<math>\lim_{x\rightarrow 0} e^{-\frac{1}{sin(x^2)}}=0</math> ולכן '''אפס''' היא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.

בשאר הנקודות, הסינוס חיובי מצד אחד, ושלילי מהצד השני ולכן בצד אחד הפונקציה אינה חסומה, והן נקודות אי -רציפות מ'''מין שני'''