הבדלים בין גרסאות בדף "שדה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "קטגוריה:אלגברה לינארית קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <mat...")
 
שורה 2: שורה 2:
  
 
קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:
 
קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:
#'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
+
 
#'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
+
1. '''סגירות'''
#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>
+
:<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>
#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>
+
:(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
+
2. '''קומוטאטיביות/חילופיות'''
#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math>
+
:<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
+
3. '''אסוציאטיביות'''
 +
:<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
 +
4. '''קיום אברים נייטרליים'''
 +
:קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים
 +
:<math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a</math>
 +
:בנוסף מתקיים <math>0\ne1</math>
 +
5. '''קיום אבר נגדי לחיבור-'''
 +
:לכל אבר <math>a</math> קיים אבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math> .
 +
:לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
 +
6. '''קיום איבר הופכי לכפל'''
 +
:לכל אבר <math>a\ne0</math> קיים אבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math> .
 +
:שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה <math>a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b}</math> .
 +
7. '''דיסטריבוטיביות/פילוג'''
 +
:<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
 +
:שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.

גרסה מ־21:47, 9 במרץ 2017


קבוצה \mathbb{F} עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור (\mathbb{F},\cdot,+) נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות

\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}
(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)

2. קומוטאטיביות/חילופיות

\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a

3. אסוציאטיביות

\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)

4. קיום אברים נייטרליים

קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים
\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a
בנוסף מתקיים 0\ne1

5. קיום אבר נגדי לחיבור-

לכל אבר a קיים אבר שנסמנו (-a) כך שמתקיים a+(-a)=0 .
לצורך קיצור הכתיבה נסמן a+(-a)=a-a (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)

6. קיום איבר הופכי לכפל

לכל אבר a\ne0 קיים אבר שנסמנו a^{-1} כך שמתקיים a\cdot a^{-1} = 1 .
שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b} .

7. דיסטריבוטיביות/פילוג

\forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.