שדה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש


קבוצה \mathbb{F} עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור (\mathbb{F},\cdot,+) נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות

\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}
(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)

2. קומוטאטיביות/חילופיות

\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a

3. אסוציאטיביות

\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)

4. קיום אברים נייטרליים

קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים
\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a
בנוסף מתקיים 0\ne1

5. קיום אבר נגדי לחיבור-

לכל אבר a קיים אבר שנסמנו (-a) כך שמתקיים a+(-a)=0 .
לצורך קיצור הכתיבה נסמן a+(-a)=a-a (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)

6. קיום איבר הופכי לכפל

לכל אבר a\ne0 קיים אבר שנסמנו a^{-1} כך שמתקיים a\cdot a^{-1} = 1 .
שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b} .

7. דיסטריבוטיביות/פילוג

\forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.