הבדלים בין גרסאות בדף "שדה סופי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(סדרים אפשריים)
 
שורה 1: שורה 1:
'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
+
'''שדה סופי''' הוא למה כבר אפשר לצפות [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
  
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
+
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\Z_p</math> , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
  
 
כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].
 
כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].
  
== סדרים אפשריים ==
+
==סדרים אפשריים==
 +
ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני <math>p</math> . השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל־<math>\Z_p</math> . השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־<math>\Z_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> .
  
ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-<math>\ \mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.
+
==קיום==
 +
לכל חזקת ראשוני <math>q=p^n</math> קיים שדה מסדר <math>q</math> .
  
== קיום ==
+
'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>F=\Z_p</math> . יהי <math>K</math> [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה <math>K_0=\{a\in K:a^q=a\}</math> . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק <math>q</math> אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
 +
#מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
 +
#הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
 +
#הפולינום מתפצל ב־<math>K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב־<math>K</math> .
  
לכל חזקת ראשוני <math>\ q = p^n</math> קיים שדה מסדר q.
+
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>q=p^n</math> , יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>f\in F[x]</math> מ[[מעלה]] <math>n</math> . במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש־<math>F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
  
'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F = \mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0 = \{a \in K : a^q = a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
+
==יחידות==
# מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
+
# הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
+
# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.
+
  
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
+
העובדה שמכל סדר <math>q</math> יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").
 
+
== יחידות ==
+
 
+
העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").  
+
  
 
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
 
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
 
[[קטגוריה:89214]]
 
[[קטגוריה:89214]]

גרסה אחרונה מ־14:01, 2 בספטמבר 2018

שדה סופי הוא – למה כבר אפשר לצפות – שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, \Z_p , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.

סדרים אפשריים

המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני p . השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל־\Z_p . השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־\Z_p^n (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p .

קיום

לכל חזקת ראשוני q=p^n קיים שדה מסדר q .

הוכחה. נתבונן בפולינום x^{q}-x מעל השדה הראשוני F=\Z_p . יהי K שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה K_0=\{a\in K:a^q=a\} . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:

  1. מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
  2. הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
  3. הפולינום מתפצל ב־K_0 מכיוון שהוא מתפצל ב־K .

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר q=p^n , יש להכיר פולינום אי-פריק f\in F[x] ממעלה n . במקרה זה, חוג המנה F[x]/F[x]f(x) הוא שדה מכיוון ש־F[x]f(x) אידיאל מקסימלי.

יחידות

העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").