שינויים
יצירת דף עם התוכן "'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי ..."
'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].
== סדרים אפשריים ==
ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-<math>\ mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.
== קיום ==
לכל חזקת ראשוני <math>\ q = p^n</math> קיים שדה מסדר q.
'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F = \mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0 = \{a \in K : a^q = a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
# מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
# הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
== יחידות ==
העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:89214]]
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].
== סדרים אפשריים ==
ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-<math>\ mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.
== קיום ==
לכל חזקת ראשוני <math>\ q = p^n</math> קיים שדה מסדר q.
'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F = \mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0 = \{a \in K : a^q = a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
# מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
# הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
== יחידות ==
העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:89214]]
