שדה סופי

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־14:01, 2 בספטמבר 2018 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שדה סופי הוא – למה כבר אפשר לצפות – שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, \Z_p , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.

סדרים אפשריים

המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני p . השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל־\Z_p . השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־\Z_p^n (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p .

קיום

לכל חזקת ראשוני q=p^n קיים שדה מסדר q .

הוכחה. נתבונן בפולינום x^{q}-x מעל השדה הראשוני F=\Z_p . יהי K שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה K_0=\{a\in K:a^q=a\} . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:

  1. מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
  2. הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
  3. הפולינום מתפצל ב־K_0 מכיוון שהוא מתפצל ב־K .

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר q=p^n , יש להכיר פולינום אי-פריק f\in F[x] ממעלה n . במקרה זה, חוג המנה F[x]/F[x]f(x) הוא שדה מכיוון ש־F[x]f(x) אידיאל מקסימלי.

יחידות

העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").