הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"

גרסה מ־15:01, 24 בנובמבר 2011

הרחבות של שדות

הגדרה: יהיה $F$ שדה. הרחבה של $F$ היא כינוי לכל שדה $K$ המכיל את $F$ . לרוב כותבים גם $K/F$ . באופן טבעי $K$ הוא מרחב וקטורי מעל $F$ . המימד של $K$ מעל $F$ יסומן ב- $[K:F]$ (הוא אינו חייב להיות סופי).

דוגמא: $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ היא הרחבת שדות ממימד סופי. $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.

טענה: יהיו $F\subseteq K\subseteq L$ שדות. אזי $[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]$ .

הרעיון של ההוכחה: אם $A$ הוא בסיס ל- $L$ כמרחב וקטורי מעל $K$ ו- $B$ הוא בסיס ל- $K$ כמרחב וקטורי מעל $F$ אז הקבוצה $\{ab~|~a\in A, b\in B\}$ היא בסיס ל- $L$ כמרחב וקטורי מעל $F$ והיא בעלת $[L:K][K:F]$ איברים (זה לא טריוויאלי).

תכונה: אם $F$ שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של $F$ הוא גם שדה.

הגדרה: נניח ש- $L$ שדה ו- $F,K$ תת שדות של $L$ . הקומפוזיטום של $F,K$ הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את $F,K$ . הוא יסומן ב- $LK$ .

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

הגדרה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו- $a\in K$ . האיבר $a$ נקרא אלגברי מעל $F$ אם קיים פולינום $f(x)$ כך ש- $f(a)=0$ . אם לא קיים פולינום כזה, $a$ נקרא טרנסצנדנטי מעל $F$ .

דוגמא: $\sqrt{2}$ הוא אלגברי מעל $\mathbb{Q}$ כי הוא מאפס את $x^2-2\in\mathbb{Q}$ . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים $e,\pi$ הם טרנסצנדנטיים מעל $\mathbb{Q}$ .

הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל $\mathbb{Q}$ היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- $\mathbb{C}$ (וגם ב- $\mathbb{R}$ ) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).

דוגמא: יהיה $F$ שדה ויהי $F(t)$ שדה השברים של $F[t]$ . קל לבדוק כי $t$ טרנסצנדנטי מעל $F$ . למעשה, כל איבר ב- $F(t)\setminus F$ הוא טרנסצנדנטי.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים ==
+== הרחבות של שדות ==
-'''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>L/K</math>.
+'''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>K/F</math>. באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי).
-אם <math>K/F</math> היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי).
+'''דוגמא:''' <math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> היא הרחבת שדות ממימד סופי. <math>\mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
-'''טענה ("נוסחת המכפלה"):''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>.
+'''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>.
 '''הרעיון של ההוכחה:''' אם <math>A</math> הוא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>K</math> ו-<math>B</math> הוא בסיס ל-<math>K</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> אז הקבוצה <math>\{ab~|~a\in A, b\in B\}</math> היא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> והיא בעלת <math>[L:K][K:F]</math> איברים (זה לא טריוויאלי).
+'''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה.
+'''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>LK</math>.
+== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים ==
 '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.
+'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>.
+'''הערה:''' לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-<math>\mathbb{C}</math> (וגם ב-<math>\mathbb{R}</math>) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
+'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי.

הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"

גרסה מ־15:01, 24 בנובמבר 2011

הרחבות של שדות

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים