הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"

גרסה מ־15:24, 24 בנובמבר 2011

הרחבות של שדות

הגדרה: יהיה $F$ שדה. הרחבה של $F$ היא כינוי לכל שדה $K$ המכיל את $F$ . לרוב כותבים גם $K/F$ . באופן טבעי $K$ הוא מרחב וקטורי מעל $F$ . המימד של $K$ מעל $F$ יסומן ב- $[K:F]$ (הוא אינו חייב להיות סופי).

דוגמא: $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ היא הרחבת שדות ממימד סופי. $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.

טענה: יהיו $F\subseteq K\subseteq L$ שדות. אזי $[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]$ .

הרעיון של ההוכחה: אם $A$ הוא בסיס ל- $L$ כמרחב וקטורי מעל $K$ ו- $B$ הוא בסיס ל- $K$ כמרחב וקטורי מעל $F$ אז הקבוצה $\{ab~|~a\in A, b\in B\}$ היא בסיס ל- $L$ כמרחב וקטורי מעל $F$ והיא בעלת $[L:K][K:F]$ איברים (זה לא טריוויאלי).

תכונה: אם $F$ שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של $F$ הוא גם שדה.

הגדרה: נניח ש- $L$ שדה ו- $F,K$ תת שדות של $L$ . הקומפוזיטום של $F,K$ הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את $F,K$ . הוא יסומן ב- $FK$ .

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

הגדרה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו- $a\in K$ . האיבר $a$ נקרא אלגברי מעל $F$ אם קיים פולינום $f(x)\neq 0$ כך ש- $f(a)=0$ . אם לא קיים פולינום כזה, $a$ נקרא טרנסצנדנטי מעל $F$ .

דוגמא: $\sqrt{2}$ הוא אלגברי מעל $\mathbb{Q}$ כי הוא מאפס את $x^2-2\in\mathbb{Q}$ . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים $e,\pi$ הם טרנסצנדנטיים מעל $\mathbb{Q}$ .

הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל $\mathbb{Q}$ היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- $\mathbb{C}$ (וגם ב- $\mathbb{R}$ ) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).

דוגמא: יהיה $F$ שדה ויהי $F(t)$ שדה השברים של $F[t]$ . קל לבדוק כי $t$ טרנסצנדנטי מעל $F$ . למעשה, כל איבר ב- $F(t)\setminus F$ הוא טרנסצנדנטי.

הגדרה: הרחבת שדות $K/F$ נקראת אלגברית אם כל איבר ב- $K$ אלגברי מעל $F$ .

סימון: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו- $a\in K$ . מסמנים $F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}$ .

טענה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו- $a\in K$ . אזי $a$ אלגברי מעל $F$ אם ורק אם המימד של $F[a]$ כמרחב וקטורי מעל $F$ סופי. במקרה זה $F[a]$ שדה.

הוכחה: כוון אחד: נניח ש- $\dim_FF[a]=n<\infty$ . אזי הקבוצה $\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}$ היא בגודל $n+1$ ולכן תלויה לינארית מעל $F$ . לכן קיימים $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F$ , לא כולם 0, כך ש- $\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0$ . אם נגדיר $f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]$ אז $f(x)\neq 0$ ובעצם הראינו $f(a)=0$ . לכן $a$ אלגברי מעל $F$ .

כוון שני: נניח שקיים $f(x)\neq 0$ כך ש- $f(a)=0$ . נסמן $n=\deg f$ . מספיק להראות ש- $\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$ קבוצה פורשת (מעל $F$ ) ל- $F[a]$ . יהי $b\in F[a]$ אזי $b=g(a)$ עבור $g(x)\in F[x]$ כלשהו. קיימים פולינומים $q(x),r(x)\in F[x]$ כך ש- $g(x)=q(x)f(x)+r(x)$ וגם $\deg r<\deg f=n$ . אזי $g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)$ ו- $r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}$ כי $\deg r<n$ .

כדי לראות שבמקרה זה $F[a]$ שדה, נשים לב ש- $F[a]$ הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל $F$ ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:

תרגיל: יהי $R$ תחום שלמות ו- $F\subseteq R$ שדה כך ש- $\dim_FR<\infty$ . אזי $R$ שדה. [רמז: לכל $r\in R$ ההעתקה $x\mapsto rx$ היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

@@ שורה 31: / שורה 31: @@
 '''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.
-'''הוכחה (תקציר):''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.
+'''הוכחה:''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.
-כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן <math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>.
+כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן
+<math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>.
 כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
 '''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"

גרסה מ־15:24, 24 בנובמבר 2011

הרחבות של שדות

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים