הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים)
שורה 1: שורה 1:
 
 
== הרחבות של שדות ==
 
== הרחבות של שדות ==
  
שורה 49: שורה 48:
  
 
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
 
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
 +
 +
== איברים אלגבריים - מבט מעמיק ==
 +
 +
'''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית.
 +
 +
'''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו.
 +
 +
'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>.
 +
 +
'''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי.
 +
 +
'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>.

גרסה מ־15:52, 24 בנובמבר 2011

הרחבות של שדות

הגדרה: יהיה F שדה. הרחבה של F היא כינוי לכל שדה K המכיל את F. לרוב כותבים גם K/F. באופן טבעי K הוא מרחב וקטורי מעל F. המימד של K מעל F יסומן ב-[K:F] (הוא אינו חייב להיות סופי).

דוגמא: \mathbb{C}/\mathbb{R} היא הרחבת שדות ממימד סופי. \mathbb{R}/\mathbb{Q} היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.

טענה: יהיו F\subseteq K\subseteq L שדות. אזי [L:F]=[L:K]\cdot[K:F].

הרעיון של ההוכחה: אם A הוא בסיס ל-L כמרחב וקטורי מעל K ו-B הוא בסיס ל-K כמרחב וקטורי מעל F אז הקבוצה \{ab~|~a\in A, b\in B\} היא בסיס ל-L כמרחב וקטורי מעל F והיא בעלת [L:K][K:F] איברים (זה לא טריוויאלי).

תכונה: אם F שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של F הוא גם שדה.

הגדרה: נניח ש-L שדה ו-F,K תת שדות של L. הקומפוזיטום של F,K הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את F,K. הוא יסומן ב-FK.

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

הגדרה: תהי K/F הרחבת שדות ו-a\in K. האיבר a נקרא אלגברי מעל F אם קיים פולינום f(x)\neq 0 כך ש-f(a)=0. אם לא קיים פולינום כזה, a נקרא טרנסצנדנטי מעל F.

דוגמא: \sqrt{2} הוא אלגברי מעל \mathbb{Q} כי הוא מאפס את x^2-2\in\mathbb{Q}. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים e,\pi הם טרנסצנדנטיים מעל \mathbb{Q}.

הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל \mathbb{Q} היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-\mathbb{C} (וגם ב-\mathbb{R}) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).

דוגמא: יהיה F שדה ויהי F(t) שדה השברים של F[t]. קל לבדוק כי t טרנסצנדנטי מעל F. למעשה, כל איבר ב-F(t)\setminus F הוא טרנסצנדנטי.

הערה: אם F\subseteq K\subseteq L שדות ו-a\in L אלגברי מעל F אז הוא גם אלגברי מעל K. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-F[x]\subseteq K[x].)

הגדרה: הרחבת שדות K/F נקראת אלגברית אם כל איבר ב-K אלגברי מעל F.

סימון: תהי K/F הרחבת שדות ו-a\in K. מסמנים F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}.

טענה: תהי K/F הרחבת שדות ו-a\in K. אזי a אלגברי מעל F אם ורק אם המימד של F[a] כמרחב וקטורי מעל F סופי. במקרה זה F[a] שדה.

הוכחה: כוון אחד: נניח ש-\dim_FF[a]=n<\infty. אזי הקבוצה \{1,a,a^2,\ldots,a^n\} היא בגודל n+1 ולכן תלויה לינארית מעל F. לכן קיימים \alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F, לא כולם 0, כך ש-\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0. אם נגדיר f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x] אז f(x)\neq 0 ובעצם הראינו f(a)=0. לכן a אלגברי מעל F.

כוון שני: נניח שקיים f(x)\neq 0 כך ש-f(a)=0. נסמן n=\deg f. מספיק להראות ש-\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\} קבוצה פורשת (מעל F) ל-F[a]. יהי b\in F[a] אזי b=g(a) עבור g(x)\in F[x] כלשהו. קיימים פולינומים q(x),r(x)\in F[x] כך ש-g(x)=q(x)f(x)+r(x) וגם \deg r<\deg f=n. אזי g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a) ו-r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\} כי \deg r<n.

כדי לראות שבמקרה זה F[a] שדה, נשים לב ש-F[a] הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל F ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:

תרגיל: יהי R תחום שלמות ו-F\subseteq R שדה כך ש-\dim_FR<\infty. אזי R שדה. [רמז: לכל r\in R ההעתקה x\mapsto rx היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

מסקנה: אם K/F הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר [K:F]<\infty היא הרחבה אלגברית.

תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו

תרגיל: תהי L/F הרחבת שדות ו-a_1,\ldots,a_n\in L אלגבריים מעל F. הראו כי F[a_1,\ldots,a_n] שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את F ואת a_1,\ldots,a_n. (הערה: F[a_1,\ldots,a_n] מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)

תרגיל: תהי L/F הרחבת שדות, a_1,\ldots,a_n\in L אלגבריים מעל F ו-F\subseteq K\subseteq L. הוכיחו כי הקומפוזיטום של F[a_1,\ldots,a_n] ו-K הוא K[a_1,\ldots,a_n].

איברים אלגבריים - מבט מעמיק

טענת עזר: תהי K/F הרחבת שדות ו-a,b\in K אלגבריים. אזי F[a,b]/F הרחבה אלגברית.

הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-[F[a,b]:F]<\infty. מתקיים [F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F] ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה [F[a]:F]<\infty כי a אלגברי מעל F. בנוסף, b אלגברי מעל F ולכן גם מעל F[a]. כעת, אותה טענה גם אומרת כי [F[a,b]:F[a]]<\infty ולכן גמרנו.

מסקנה: אם K/F הרחבת שדות ו-a,b\in F אלגבריים מעל F, אז גם ab,a+b אלגבריים מעל F.

תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם a\neq 0 אז גם a^{-1} אלגברי.

מסקנה: תהי K/F הרחבת שדות. נסמן ב-A את כל האיברים ב-K שאלגבריים מעל F. אזי A שדה. למעשה, A הוא תת השדה הגדול ביותר של K שאלגברי מעל F.