הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏איברים אלגבריים - מבט מעמיק)
שורה 45: שורה 45:
 
== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==
 
== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==
  
−
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
+
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה והמימד שלו מעל <math>F</math> סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
  
 
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
 
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
שורה 62: שורה 62:
  
 
'''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.)
 
'''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.)
 +
 +
'''דוגמא:''' יהי <math>F</math> שדה ויהי <math>K=F(t)</math> (שדה השברים של <math>F[t]</math> = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה <math>t</math>). אזי האיברים האלגבריים מעל <math>K</math> הם רק השדה <math>F</math>.
 +
 +
'''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית. אזי איבר <math>a\in L</math> הוא אלגברי מעל <math>K</math> אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל <math>F</math>.
 +
 +
'''הוכחה:''' כוון אחד ברור מאליו -- אם <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-<math>a</math> אלגברי מעל <math>K</math> אזי קיים פולינום <math>0\neq f(x)\in K[x]</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. יהיו <math>b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K</math> מקדמי הפולינום <math>f</math>. היות ו-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית, אז כל האיברים <math>b_0,b_1,\ldots,b_n</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. לכן, לפי תרגיל מקודם, <math>K_0=F[b_0,\ldots,b_n]</math> הוא שדה ממימד סופי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>f(x)\in K_0[x]</math> ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>K_0</math>. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-<math>[K_0[a]:K_0]<\infty</math>. לכן <math>[K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty</math>. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה <math>K_0[a]/F</math> אלגברית ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.
 +
 +
'''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>.

גרסה מ־10:54, 25 בנובמבר 2011

הרחבות של שדות

הגדרה: יהיה F שדה. הרחבה של F היא כינוי לכל שדה K המכיל את F. לרוב כותבים גם K/F. באופן טבעי K הוא מרחב וקטורי מעל F. המימד של K מעל F יסומן ב-[K:F] (הוא אינו חייב להיות סופי).

דוגמא: \mathbb{C}/\mathbb{R} היא הרחבת שדות ממימד סופי. \mathbb{R}/\mathbb{Q} היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.

טענה: יהיו F\subseteq K\subseteq L שדות. אזי [L:F]=[L:K]\cdot[K:F].

הרעיון של ההוכחה: אם A הוא בסיס ל-L כמרחב וקטורי מעל K ו-B הוא בסיס ל-K כמרחב וקטורי מעל F אז הקבוצה \{ab~|~a\in A, b\in B\} היא בסיס ל-L כמרחב וקטורי מעל F והיא בעלת [L:K][K:F] איברים (זה לא טריוויאלי).

תכונה: אם F שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של F הוא גם שדה.

הגדרה: נניח ש-L שדה ו-F,K תת שדות של L. הקומפוזיטום של F,K הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את F,K. הוא יסומן ב-FK.

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

הגדרה: תהי K/F הרחבת שדות ו-a\in K. האיבר a נקרא אלגברי מעל F אם קיים פולינום f(x)\neq 0 כך ש-f(a)=0. אם לא קיים פולינום כזה, a נקרא טרנסצנדנטי מעל F.

דוגמא: \sqrt{2} הוא אלגברי מעל \mathbb{Q} כי הוא מאפס את x^2-2\in\mathbb{Q}. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים e,\pi הם טרנסצנדנטיים מעל \mathbb{Q}.

הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל \mathbb{Q} היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-\mathbb{C} (וגם ב-\mathbb{R}) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).

דוגמא: יהיה F שדה ויהי F(t) שדה השברים של F[t]. קל לבדוק כי t טרנסצנדנטי מעל F. למעשה, כל איבר ב-F(t)\setminus F הוא טרנסצנדנטי.

הערה: אם F\subseteq K\subseteq L שדות ו-a\in L אלגברי מעל F אז הוא גם אלגברי מעל K. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-F[x]\subseteq K[x].)

הגדרה: הרחבת שדות K/F נקראת אלגברית אם כל איבר ב-K אלגברי מעל F.

סימון: תהי K/F הרחבת שדות ו-a\in K. מסמנים F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}.

טענה: תהי K/F הרחבת שדות ו-a\in K. אזי a אלגברי מעל F אם ורק אם המימד של F[a] כמרחב וקטורי מעל F סופי. במקרה זה F[a] שדה.

הוכחה: כוון אחד: נניח ש-\dim_FF[a]=n<\infty. אזי הקבוצה \{1,a,a^2,\ldots,a^n\} היא בגודל n+1 ולכן תלויה לינארית מעל F. לכן קיימים \alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F, לא כולם 0, כך ש-\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0. אם נגדיר f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x] אז f(x)\neq 0 ובעצם הראינו f(a)=0. לכן a אלגברי מעל F.

כוון שני: נניח שקיים f(x)\neq 0 כך ש-f(a)=0. נסמן n=\deg f. מספיק להראות ש-\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\} קבוצה פורשת (מעל F) ל-F[a]. יהי b\in F[a] אזי b=g(a) עבור g(x)\in F[x] כלשהו. קיימים פולינומים q(x),r(x)\in F[x] כך ש-g(x)=q(x)f(x)+r(x) וגם \deg r<\deg f=n. אזי g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a) ו-r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\} כי \deg r<n.

כדי לראות שבמקרה זה F[a] שדה, נשים לב ש-F[a] הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל F ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:

תרגיל: יהי R תחום שלמות ו-F\subseteq R שדה כך ש-\dim_FR<\infty. אזי R שדה. [רמז: לכל r\in R ההעתקה x\mapsto rx היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

מסקנה: אם K/F הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר [K:F]<\infty היא הרחבה אלגברית.

תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו

תרגיל: תהי L/F הרחבת שדות ו-a_1,\ldots,a_n\in L אלגבריים מעל F. הראו כי F[a_1,\ldots,a_n] שדה והמימד שלו מעל F סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את F ואת a_1,\ldots,a_n. (הערה: F[a_1,\ldots,a_n] מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)

תרגיל: תהי L/F הרחבת שדות, a_1,\ldots,a_n\in L אלגבריים מעל F ו-F\subseteq K\subseteq L. הוכיחו כי הקומפוזיטום של F[a_1,\ldots,a_n] ו-K הוא K[a_1,\ldots,a_n].

איברים אלגבריים - מבט מעמיק

טענת עזר: תהי K/F הרחבת שדות ו-a,b\in K אלגבריים. אזי F[a,b]/F הרחבה אלגברית.

הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-[F[a,b]:F]<\infty. מתקיים [F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F] ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה [F[a]:F]<\infty כי a אלגברי מעל F. בנוסף, b אלגברי מעל F ולכן גם מעל F[a]. כעת, אותה טענה גם אומרת כי [F[a,b]:F[a]]<\infty ולכן גמרנו.

מסקנה: אם K/F הרחבת שדות ו-a,b\in F אלגבריים מעל F, אז גם ab,a+b אלגבריים מעל F.

תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם a\neq 0 אז גם a^{-1} אלגברי.

מסקנה: תהי K/F הרחבת שדות. נסמן ב-A את כל האיברים ב-K שאלגבריים מעל F. אזי A שדה. למעשה, A הוא תת השדה הגדול ביותר של K שאלגברי מעל F.

דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל \mathbb{Q} ב-\mathbb{C} הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של \mathbb{Q}.)

דוגמא: יהי F שדה ויהי K=F(t) (שדה השברים של F[t] = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה t). אזי האיברים האלגבריים מעל K הם רק השדה F.

טענה: יהיו F\subseteq K\subseteq L שדות כך ש-K/F הרחבה אלגברית. אזי איבר a\in L הוא אלגברי מעל K אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל F.

הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם a אלגברי מעל F אז הוא גם אלגברי מעל K. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-a אלגברי מעל K אזי קיים פולינום 0\neq f(x)\in K[x] כך ש-f(a)=0. יהיו b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K מקדמי הפולינום f. היות ו-K/F הרחבה אלגברית, אז כל האיברים b_0,b_1,\ldots,b_n אלגבריים מעל F. לכן, לפי תרגיל מקודם, K_0=F[b_0,\ldots,b_n] הוא שדה ממימד סופי מעל F. בנוסף, f(x)\in K_0[x] ולכן a אלגברי מעל K_0. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-[K_0[a]:K_0]<\infty. לכן [K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה K_0[a]/F אלגברית ולכן a אלגברי מעל F.

הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את K_0 כי לא היה נתון ש-[K:F]<\infty.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שדות_-_תכונות_בסיסיות&oldid=16349