שדות - תכונות בסיסיות

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים

הגדרה: יהיה $F$ שדה. הרחבה של $F$ היא כינוי לכל שדה $K$ המכיל את $F$. לרוב כותבים גם $L/K$.

אם $K/F$ היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי $K$ הוא מרחב וקטורי מעל $F$. המימד של $K$ מעל $F$ יסומן ב-$[K:F]$ (הוא אינו חייב להיות סופי).

טענה ("נוסחת המכפלה"): יהיו $F\subseteq K\subseteq L$ שדות. אזי $[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]$.

הרעיון של ההוכחה: אם $A$ הוא בסיס ל-$L$ כמרחב וקטורי מעל $K$ ו-$B$ הוא בסיס ל-$K$ כמרחב וקטורי מעל $F$ אז הקבוצה $\{ab~|~a\in A, b\in B\}$ היא בסיס ל-$L$ כמרחב וקטורי מעל $F$ והיא בעלת $[L:K][K:F]$ איברים (זה לא טריוויאלי).

הגדרה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו-$a\in K$. האיבר $a$ נקרא אלגברי מעל $F$ אם קיים פולינום $f(x)$ כך ש-$f(a)=0$. אם לא קיים פולינום כזה, $a$ נקרא טרנסצנדנטי מעל $F$.