לגבי דוגמה להוכחה של "על", תרגיל 5 שאלה 6D. נשמח אם נוכל לקבל הסבר. תודה.
'''אז אמרנו שכדי לבדוק אם הפונקציה היא על, ניקח איבר מהטווח, נעשה לעצמינו טיוטא כדי לראות מאיפה מגיע המקור שלו, אם הוא איבר בתחום אז היא על ונשתמש בטיוטא ב"רוורס"כדי לרשום זאת פורמלית, אם לא אז נדע איפה לחפש את הדוגמא הנגדית.אשתמש בסעיפים c-d כדי להדגים את שני המיקרים.
<math>f:R\rightarrow R</math>'''אשתמש בסעיפים c-d כדי להדגים את שני המיקרים.
<math>f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math>
'''טיוטא: - ניקרא לתמונה <math>y</math> ונחפש את מקורה <math>x</math>-:
'''<math>\ \ \ \\frac{1}{1+x^2}=y</math> במקרה של c האיבר y ממשי (כי הטווח הוא R), ונרצה לראות אם המקור x הוא ממשי.
'''<math>1/y</math> <math>1+x^2=\frac{1}{y}</math> ממשי
'''<math>\frac{1}{y}-1</math> <math>x^2=\frac{1}{y}-1</math>ממשי
'''<math>x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}</math>אבל לא כל שורש של ממשי הוא ממשי. '''לכן, סעיף c הוא לא על. איפה נחפש את הדוגמא הנגדית? כאשר <math>\frac{1}{y}-1</math> הוא שלילי, כי שורש של שלילי איננו ממשי: '''<math>y=2\Rightarrow \frac{1}{y}-1<0\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{y}-1}\in C\R</math>. '''אם נשנה למשל את התחום ל-C, או את הטווח לממשיים החיוביים זה יפתור את הבעיה. '''בואו נראה כיצד d פותר את הבעיה: '''טיוטא: '''<math> \frac{1}{1+x^2}=y</math> כאשר <math>y\in(0,1]</math> '''<math>1/y\in[1,\infty)</math> <math>1+x^2=\frac{1}{y}</math> '''<math>\frac{1}{y}-1\in[0,\infty)=R^+\cup\{0\}</math> <math>x^2=\frac{1}{y}-1</math> '''<math>x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}</math> כל שורש של ממשי אי שלילי הוא ממשי אי שלילי. '''כלומר, גילינו ש-<math>\forall y\in(o,1]\ \ \sqrt{\frac{1}{y}-1}\in R^+\cup\{0\} </math> '''אם האיבר הנ"ל בתחום אז יש איבר בתחום ששווה לו, נקרא לו x, לכן: '''<math>\underline{\forall y\in(0,1]\ \exists x\in R^+\cup\{0\}:} \sqrt{\frac{1}{y}-1}=x\Rightarrow </math> '''(וזה החלק של העבודה ב"רוורס". כלומר בודדנו את x כדי לוודא שהטענה נכונה, ועכשיו נבודד בחזרה את y ונטען אותה) '''<math>\underline{y=}\frac{1}{1+x^2}=\underline{f(x)}</math>. '''עדי