שינויים

'''1. f חח"ע ועל

'''2. fgf חח"ע ועל

'''3. gf חח"ע

'''4. fg על

'''ואין מסקנות אוטומטיות נוספות, לכן נוכיח לפי הגדרה.

'''''נרצה להוכיח ש-g חח"ע'', נתחיל משוויון בין תמונות של a,b תחת g, ונקווה לגלות שוויון בין a ל-b. בדרך נשתמש ב1-4:

'''<math>\underline{g(a)=g(b)}</math>

'''a ו-b הם תמונות תחת f כי f על, לכן קיימים להם מקורות x ו-y בהתאמה, <math>\exists x,y:f(x)=a,f(y)=b</math> ולכן:

'''<math>gf(x)=g(f(x))=g(f(y))=gf(y)</math>. כעת, gf חח"ע ולכן:

'''<math>x=y</math> נפעיל f על שני האגפים, היות ו-f פונקציה נקבל:

'''<math>f(x)=f(y)</math>, ולכן <math>\underline{a=b}</math> כנדרש.

'''''נרצה להוכיח ש-g על'', נתחיל מאיבר y בטווח של g, ונקווה לגלות שקיים לו מקור תחת g בתחום של g. בדרך נשתמש ב1-4:

'''מכיוון שההרכבות הנתונות קיימות (אחרת לא היו פונקציות ובפרט לא הפיכות) הרי שכל '''התחומים והטווחים בשאלה זהים:  '''<math>formulaf,g:A\rightarrow A</math> '''כעת ניקח איבר כללי בטווח g ונראה מה ידוע לנו עליו- '''<math>\forall y\in A \exists z\in A: f(y)=z</math> כי f פונקציה. (מכיוון שכל הפונקציות אשר ידוע עליהן "על" מתחילות ב-f (כלומר fg,fgf,f) נרצה להפוך את התמונה שלנו y ל-f של משהו, ע"מ להשתמש בהן). '''כעת, מכיוון ש-fg על '''<math>\forall z\in A \exists x\in A: fg(x)=z</math>. '''בסה"כ קיבלנו (אם לכל y יש z ולכל z יש x, אז בטרנזיטיביות לכל y יש x): '''<math>\forall y\in A \exists x\in A: fg(x)=z=f(y)</math>, ומכיוון ש-f חח"ע: '''<math>\forall y\in A \exists x\in A: g(x)=y</math> כפי שרצינו. '''עדי