|
|
| (30 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| − | == מקורות ==
| + | ([[שיחה:88-101 חשיבה מתמטית/ארכיון 1]]) |
| | | | |
| − | * [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/bu/RWP.pdf הספר שבועז הציע]. | + | * ניתן להוסיף כאן שאלות והערות מכל סוג. |
| | | | |
| − | == דיונים == | + | == שאלה קטנה == |
| | + | רק כדי לבדוק אם הבנתי... בסעיף 3 נאמר כי המשפט הוא טאוטולוגי (אם מההנחה "A או B" אפשר להסיק את A אז B מוכרח להיות שקרי), אבל לפני כן נאמר כי או במשמעות המתמטית הוא או חלש שמאפשר נכונות גם של A וגם של B, ואם ככה המשפט לא בהכרח תמיד נכון...? |
| | + | :היכן נאמר שפסוק זה טאוטולוגי? במשפט לאחר מכן נאמר באופן כללי שמשפט שכל ההשמות שלו נותנות אמת הוא טאוטולוגי, לאו דווקא הדוגמא לעיל --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font> |
| | | | |
| − | הערה: הניסוח "כך וכך קורה אם כך וכך נתון" הוא מבלבל ולא מקובל במתמטיקה. הניסוח המקובל, שהייתי רוצה שתלמידים יבינו עד סוף הקורס הוא "אם כך וכך נתון, אז כך וכך קורה" או "נניח שכך וכך. אזי כך וכך.".
| + | ::מתחת לכותרת "טבלאות אמת", אני מצטטת: "דוגמא. הפסוק שהוזכר לעיל הוא טאוטולוגיה. הוא קובע שאם מההנחה "A או B" אפשר להסיק את A, אז B מוכרח להיות שקרי." |
| − | נראה קטנוני, אבל מדובר בכאלה שאפילו ההבדל הזה בין הדוגמאות שלכם לניסוחים בקורסים האחרים יבלבלו אותם.
| + | |
| | | | |
| − | עוד בעיה עם הניסוח "כך וכך קורה אם כך וכך נתון" היא, שבמתמטיקה הוא הרבה פעמים משמש להגדרה, כשהכוונה היא ל"אם ורק אם" (!). זו מוסכמה לא כתובה, שמקובלת מאד בהגדרות, ואני מעדיף אותה על פני הגישה המלאכותית "הגדרה: מספר הוא זוגי אם ורק אם הוא כפולה של שתיים".
| + | :::נכון, עושה רושם שיש שם טעות, הרי הצבת אמת בA וגם בB מוציאה ערך שקרי. אני אברר עם הכותב מה הייתה כוונתו, תודה --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font> 19:33, 10 ביולי 2012 (IDT) |
| | | | |
| − | אגב, ללואי: מתלמידי פילוסופיה דווקא כן הייתי מצפה שישלטו בכל ההתנסחויות, כיון שזה חלק מהותי בעבודתם (התנסחויות שונות סביב דברים שאי אפשר להבין - סליחה על הירידה...).
| + | ::: תיקנתי. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:08, 10 ביולי 2012 (IDT) |
| | | | |
| − | 1. לא הבנתי את הדוג' הראשונה "שניהם צודקים" והדוג' השניה נראית לי קשה מדיי. מטרתנו בקורס היא להביא את התלמידים לרמה המינימלית הנדרשת במתמטיקה, ולתת רק דוגמאות שיכולות להעלות תלמידים לרמה הזאת, ולא לייאש אותם.
| + | ::::למה מהשאלות שלי מתעלמים? :( |
| − | :שניהם צודקים מבחינת השפה העברית, מכיוון שאין משמעות מתמטית למושג "יכול להיות ש...", אני מקווה שבע"פ זה יהיה ברור יותר ואולי אני אשנה ניסוח. לגבי הדוגמא השנייה, אני חושב לתת אותה פתורה ולא כתרגיל, כך שיעקבו אחרי ההגיון (ושוב, אני מקווה שבע"פ זה יהיה ברור יותר מאשר כך על הכתב בחופזה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:20, 15 בפברואר 2011 (IST)
| + | ::::: כי אתה לא שולח לי אימייל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:08, 10 ביולי 2012 (IDT) |
| | | | |
| − | 2. כדאי לפתוח את הספר ולשאוב ממנו רעיונות. סוף סוף זהו ספר שמבוסס על נסיון בדברים כאלה, שלנו עדיין (כמעט ש)אין.
| + | == דוגמא == |
| − | :בוודאי, מיד כאשר שלחת את הספר פתחתי אותו ואני משתמש בו במהלך הכתיבה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:20, 15 בפברואר 2011 (IST)
| + | |
| | | | |
| − | ===הצעות לגבי מבנה הקורס (בניסוח עובדתי)===
| + | זהה את הכשל: "8. במקרה שלמצטיינים ברשימה ממוצע ציונים זהה, דרגת ההצטיינות שווה, ללא משמעות לסדר בו הם מופיעים." (מן הקריטריונים למצטייני דיקן ורקטור, מנהל הסטודנטים). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:08, 13 בפברואר 2012 (IST) |
| − | *הבחנים יכללו דף נוסחאות הכולל את ההגדרות - פונקציה כתת קבוצה של מכפלה קרטזית, סדרה כפונקציה מהטבעיים, חיתוך, איחוד, הכלה, חבורה, שדה, מ"ו וכדומה ככל הנדרש. הדגש יהיה על ההסקה הלוגית מתוך ההגדרות, ולא על זכרון ההגדרות (שכן הדגש על זה נמצא בקורסים המקצועיים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 15 בפברואר 2011 (IST)
| + | :מה הכשל? |
| − | *שעת הקורס ביום תהיה קריטית- אנו מעוניינים שהתלמידים יהיו רעננים ובתחילת היום על מנת שיוכלו לעקוב ולהשתתף באופן אקטיבי, ולא ללמוד בבית בלבד. שעה מתאימה הינה 10 בתחילת יום הלימודים (כלומר שלא יהיה קורס לפני כן). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 15 בפברואר 2011 (IST)
| + | :כתוב שלכל 2 מצטיינים כך שהם ברשימה: (אם (ממוצע הציונים שלהם זהה) אז (דרגת הצטיינותם שווה, ואין חשיבות לסדר הופעתם)). אני לא מוצא את הבעיה. |
| − | *הקורס יהיה מפוצל לשתי קבוצות על מנת לאפשר דיון אקטיבי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 15 בפברואר 2011 (IST)
| + | ::אנא ענה, השאלה מתסכלת אותי (ליתר דיוק, אי-ידיעת התשובה). |
| − | | + | :::בבקשה? (שינו את מספר המשפט ל-10, אך הוא עצמו נשאר ללא שינוי) |
| − | == דוגמאות ==
| + | :::: מנהל הסטודנטים מתכוון לפרסם את המצטיינים לפי סדר (מן הממוצע הגבוה לנמוך). סעיף 8 מסכל את הכוונה הזו, משום שהוא לא מאפשר להסיק מן הרשימה שהראשון מצטיין יותר מהאחרון. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:12, 10 ביולי 2012 (IDT) |
| − | | + | |
| − | * "כל העתקה לינארית ממרחב וקטורי לעצמו היא איזומורפיזם, כי ידוע שכל מרחב וקטורי איזומורפי לעצמו". [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:20, 5 במרץ 2011 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == מבנה: יולי 2011 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | ארז, לא ברור לי הקשר בין הכותרת "הצרנת תכונות" לבין תוכן הסעיף שאחריה. סעיף ההצרנה שייך לפרק מאוחר יותר, תחשיב הפרדיקטים (הסדר הוא לוגיקת-קשרים, לוגיקת-פרדיקטים, לוגיקה מסדר ראשון; הצמדתי את שני האחרונים זה לזה). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 03:27, 10 ביולי 2011 (IDT)
| + | |
| − | | + | |
| − | :את הכותרת אתה נתת, אני כנראה לא הבנתי אותה. תרגיש חופשי לשנות את סדר הדברים.
| + | |
| − | :כמו כן, רשמת את המשפט "בהצרנה מקצים לכל מרכיב בפסוק אטום שונה, ומרכיבים שונים - גם אם הם קרובים במשמעותם - מקבלים אטומים שונים. למשל, בדוגמא האחרונה, יש הבדל בין "חוסר תאבון" לבין "רעב"." אתה רושם שדברים שונים מקבלים אטומים שונים, אבל דווקא בדוגמא הם קיבלו את אותו אטום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:19, 11 ביולי 2011 (IDT) | + | |
| − | :: היו צריכים לקבל אטומים שונים. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:46, 11 ביולי 2011 (IDT)
| + | |
| − | | + | |
| − | == העברות ==
| + | |
| − | | + | |
| − | כשהמשפט המקורי מעורפל ונתון לכמה פרשנויות, ההצרנה בוחרת בנקודת מבט אחת ופרשנות אחת. להלן כמה דוגמאות:
| + | |
| − | *נניח שבקופסא יש שלושה כדורים, שאותם נחלק באקראי בין שלושה אנשים. הראשון מציץ בקופסא לפני החלוקה, ואומר "לא יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק". השני, שאינו מסתכל בקופסא, אומר '''"יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק"'''. שניהם צודקים מכיוון שהמושג "יכול להיות" מסתיר את הסייג "עד כמה שאני יודע": הדוברים אינם סותרים זה את זה, משום שיש להם נקודות מבט שונות.
| + | |
| − | *מורה אומרת לתלמידיה "שבוע הבא יהיה לכם בוחן, כך שבערב לפניו '''לא תדעו בוודאות''' על קיום הבוחן למחרת". לכאורה משפט זה יוצר סתירה לוגית כיוון שאם הבוחן ביום האחרון בשבוע, והמורה דוברת אמת, התלמדים '''ידעו''' שהבוחן יהיה למחרת, לכן המורה משקרת או שהבוחן לא ביום האחרון. כן הלאה, אם המורה דוברת אמת הבוחן לא ביום הלפני אחרון והלפני לפני אחרון, ולא יכול להיות בוחן בכלל. לכן אם המורה דוברת אמת, הרי היא משקרת. לעומת זאת, אם הבוחן יהיה ביום שלישי, התלמידים לא ידעו על כך ולכן המורה דברה אמת - סתירה. הסתירה נובעת מחוסר היכולת להגדיר מתמטית את המושג "ידעו", שכן התלמידים לא יכולים "לדעת" שהמורה אומרת אמת, ולכן לא יכולים ל"דעת" שהבוחן יהיה ביום חמישי.
| + | |
| − | | + | |
| − | == העברה נוספת ==
| + | |
| − | | + | |
| − | מטרתו של התרגיל הזה לא ברורה לי. הוא מבוסס על כמה מושגים שונים של אינסוף, שאף אחד מהם אינו מוגדר כאן, וכתוב בפורמליות עודפת למרות פערים הכרחיים.
| + | |
| − | | + | |
| − | <תחילת העברה:>
| + | |
| − | | + | |
| − | '''תרגיל'''. הוכח שהטענות הבאות שקולות:
| + | |
| − | *לכל מספר זוגי יש מספר גדול ממנו k כך ש <math>P(k)</math> הוא אמת
| + | |
| − | *אין חסם מלעיל לקבוצת המספרים המקיימים את הפרדיקט P
| + | |
| − | *לכל מספר יש מספר הגדול ממנו המקיים את הפרדיקט P
| + | |
| − | | + | |
| − | שימו לב שכל הטענות הללו שקולות לכך שקיימים אינסוף מספרים המקיימים את הפרדיקט P. למעשה הטענות השנייה או השלישית יתאימו כהגדרה לטענה "אינסוף מספרים מקיימים את P"
| + | |
| − | | + | |
| − | '''פתרון'''. לפי תרגיל הבית, מספיק להוכיח שכל טענה גוררת את הבאה לה (והאחרונה את הראשונה). דבר ראשון נצרין את הטענות:
| + | |
| − | | + | |
| − | *<math>\forall n\in\mathbb{N}:(\exists m\in\mathbb{N}:2m=n)\rightarrow \exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k))</math>
| + | |
| − | *<math>\neg[\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))] </math>
| + | |
| − | *<math>\forall n\in\mathbb{N}:\exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k)) </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | הוכחה:
| + | |
| − | *נוכיח שהטענה השנייה נגררת מהראשונה. '''נניח בשלילה''' את שלילת הטענה השנייה. כלומר, נניח ש <math>\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | נקצר ברישום, ונוסיף את הפרדיקט <math>C(n)=\exists m\in\mathbb{N}:2m=n</math>. נוסיף את העובדה <math>C(n)\or C(n+1)</math> ונקבל
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\exists n\in\mathbb{N}:(C(n)\or C(n+1))\and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | נשתמש בטאוטולוגיה <math>(A \or B) \and C \equiv (A \and C) \or (B \and C)</math> ונקבל
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\exists n\in\mathbb{N}:(C(n) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) \or (C(n+1) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | אבל יחד עם הטענה הראשונה, אנחנו יכולים לגרור את הטענה הבאה:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\exists n\in\mathbb{N}:(\exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) \or \exists k\in\mathbb{N}:(k>n+1 \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | וקל לראות (-: שזו סתירה.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *הטענה השנייה גוררת את השלישית (ולמעשה שקולה לשלישית) על ידי הכנסת השלילה פנימה לפי הכללים שלמדנו.
| + | |
| − | (שימו לב לשימוש בטאוטולוגיה <math>\neg (A\rightarrow B) \Leftrightarrow (A \and \neg B)</math>)
| + | |
| − | | + | |
| − | *הטענה השלישית גוררת את הראשונה בקלות מתוך הטאוטולוגיה <math>(n \in\mathbb{N} \and C(n))\rightarrow n \in\mathbb{N} </math>
| + | |
רק כדי לבדוק אם הבנתי... בסעיף 3 נאמר כי המשפט הוא טאוטולוגי (אם מההנחה "A או B" אפשר להסיק את A אז B מוכרח להיות שקרי), אבל לפני כן נאמר כי או במשמעות המתמטית הוא או חלש שמאפשר נכונות גם של A וגם של B, ואם ככה המשפט לא בהכרח תמיד נכון...?
זהה את הכשל: "8. במקרה שלמצטיינים ברשימה ממוצע ציונים זהה, דרגת ההצטיינות שווה, ללא משמעות לסדר בו הם מופיעים." (מן הקריטריונים למצטייני דיקן ורקטור, מנהל הסטודנטים). עוזי ו. 17:08, 13 בפברואר 2012 (IST)
