שינויים
/* העברות */
*נניח שבקופסא יש שלושה כדורים, שאותם נחלק באקראי בין שלושה אנשים. הראשון מציץ בקופסא לפני החלוקה, ואומר "לא יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק". השני, שאינו מסתכל בקופסא, אומר '''"יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק"'''. שניהם צודקים מכיוון שהמושג "יכול להיות" מסתיר את הסייג "עד כמה שאני יודע": הדוברים אינם סותרים זה את זה, משום שיש להם נקודות מבט שונות.
*מורה אומרת לתלמידיה "שבוע הבא יהיה לכם בוחן, כך שבערב לפניו '''לא תדעו בוודאות''' על קיום הבוחן למחרת". לכאורה משפט זה יוצר סתירה לוגית כיוון שאם הבוחן ביום האחרון בשבוע, והמורה דוברת אמת, התלמדים '''ידעו''' שהבוחן יהיה למחרת, לכן המורה משקרת או שהבוחן לא ביום האחרון. כן הלאה, אם המורה דוברת אמת הבוחן לא ביום הלפני אחרון והלפני לפני אחרון, ולא יכול להיות בוחן בכלל. לכן אם המורה דוברת אמת, הרי היא משקרת. לעומת זאת, אם הבוחן יהיה ביום שלישי, התלמידים לא ידעו על כך ולכן המורה דברה אמת - סתירה. הסתירה נובעת מחוסר היכולת להגדיר מתמטית את המושג "ידעו", שכן התלמידים לא יכולים "לדעת" שהמורה אומרת אמת, ולכן לא יכולים ל"דעת" שהבוחן יהיה ביום חמישי.
== העברה נוספת ==
מטרתו של התרגיל הזה לא ברורה לי. הוא מבוסס על כמה מושגים שונים של אינסוף, שאף אחד מהם אינו מוגדר כאן, וכתוב בפורמליות עודפת למרות פערים הכרחיים.
'''תרגיל'''. הוכח שהטענות הבאות שקולות:
*לכל מספר זוגי יש מספר גדול ממנו k כך ש <math>P(k)</math> הוא אמת
*אין חסם מלעיל לקבוצת המספרים המקיימים את הפרדיקט P
*לכל מספר יש מספר הגדול ממנו המקיים את הפרדיקט P
שימו לב שכל הטענות הללו שקולות לכך שקיימים אינסוף מספרים המקיימים את הפרדיקט P. למעשה הטענות השנייה או השלישית יתאימו כהגדרה לטענה "אינסוף מספרים מקיימים את P"
'''פתרון'''. לפי תרגיל הבית, מספיק להוכיח שכל טענה גוררת את הבאה לה (והאחרונה את הראשונה). דבר ראשון נצרין את הטענות:
*<math>\forall n\in\mathbb{N}:(\exists m\in\mathbb{N}:2m=n)\rightarrow \exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k))</math>
*<math>\neg[\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))] </math>
*<math>\forall n\in\mathbb{N}:\exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k)) </math>
הוכחה:
*נוכיח שהטענה השנייה נגררת מהראשונה. '''נניח בשלילה''' את שלילת הטענה השנייה. כלומר, נניח ש <math>\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))</math>
נקצר ברישום, ונוסיף את הפרדיקט <math>C(n)=\exists m\in\mathbb{N}:2m=n</math>. נוסיף את העובדה <math>C(n)\or C(n+1)</math> ונקבל
<math>\exists n\in\mathbb{N}:(C(n)\or C(n+1))\and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]</math>
נשתמש בטאוטולוגיה <math>(A \or B) \and C \equiv (A \and C) \or (B \and C)</math> ונקבל
<math>\exists n\in\mathbb{N}:(C(n) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) \or (C(n+1) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) </math>
אבל יחד עם הטענה הראשונה, אנחנו יכולים לגרור את הטענה הבאה:
<math>\exists n\in\mathbb{N}:(\exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) \or \exists k\in\mathbb{N}:(k>n+1 \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) </math>
וקל לראות (-: שזו סתירה.
*הטענה השנייה גוררת את השלישית (ולמעשה שקולה לשלישית) על ידי הכנסת השלילה פנימה לפי הכללים שלמדנו.
(שימו לב לשימוש בטאוטולוגיה <math>\neg (A\rightarrow B) \Leftrightarrow (A \and \neg B)</math>)
*הטענה השלישית גוררת את הראשונה בקלות מתוך הטאוטולוגיה <math>(n \in\mathbb{N} \and C(n))\rightarrow n \in\mathbb{N} </math>
משתמש אלמוני
