אני פתחתי בדיוק לפי הנוסחא <math>\det{A} = \sum_{\tau \in S_{n}}\left ( sign {\tau} \cdot \prod_{i=1}^{n}[A]_{i \tau(i)} \right )</math> שתיתן 0 בכל מקרה בו <math>\tau \neq \sigma^{-1}</math> ובמקרה ש <math>\tau = \sigma^{-1}</math> נקבל את הסימן של <math>\tau</math> וזה בדיוק הסימן של <math>\sigma^{-1}</math>
זה נכון שהתמורה היחידה שאיננה אפסית במטריצה יושבת על המסלול <math>a_{1,\sigma^{-1}(1)}\cdots a_{n,\sigma^{-1}(n)}</math> אבל אתה בכלל לא מגיע לשם, הרי אתה בעצמך אמרת ש <math>T(e_i)= e_{\sigma (i)}</math> ולכן זה ממש מידי:
<math>[T(e_1)\cdot cdots T(e_n)]=(e_{\sigma(1)}\cdots e_{\sigma(n)})=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1} & \cdots & a_{\sigma(n),n}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
ברור שאתה יכול להמשיך עוד שלב ולומר שזה שווה ל-